Calcul de gradient

Bonjour,

J'aurais aimé de l'aide pour le calcul de la différentielle de la fonction suivante:

J: L^2(\Omega) x L^2 (\Omega) --> \R ou

pour tout f,g \in L^2(\Omega), on a J(f,g) = int_\R f^2/g d\Omega.

Quelqu'un aurait une idée?

Merci par avance!

mathsss a écrit:

Bonjour,

J'aurais aimé de l'aide pour le calcul de la différentielle de la fonction suivante:

J: L^2(\Omega) x L^2 (\Omega) --> \R ou

pour tout f,g \in L^2(\Omega), on a J(f,g) = int_\R f^2/g d\Omega.

Quelqu'un aurait une idée?

Merci par avance!

Si tu pouvais réecrire ta Fonctionnelle J(. , .) correctement , on pourrait sans doute t'aider .....

Ali Zulfikar a écrit:

Si tu pouvais réecrire ta Fonctionnelle J(. , .) correctement , on pourrait sans doute t'aider .....

J'ai pourtant essayé d'utiliser la syntaxe latex pour la définir...
La voici donc avec les moyens du bord.

J(f,g) = int_R (f²/g)(x) dx

Je ne sais pas si c est mieux.

mathsss a écrit:

Ali Zulfikar a écrit:

Si tu pouvais réecrire ta Fonctionnelle J(. , .) correctement , on pourrait sans doute t'aider .....

J'ai pourtant essayé d'utiliser la syntaxe latex pour la définir...
La voici donc avec les moyens du bord.

J(f,g) = int_R (f²/g)(x) dx

Je ne sais pas si c est mieux.

Il y a quelques INCOHERENCES ....
f et g sont de carré intégrables sur l'ouvert OMEGA , ensuite tu définis J(f;g) comme étant l'Intégrale sur IR de la quantité (f^2/g) ....?????
Est-ce le RAPPORT f^2/g auquel cas il faut faire vachement ATTENTION pour g ....

Tu vois le problème .

Bonsoir à tous et à toutes

Je crois y'a pas de problème, juste Mathsss a pas mentionné que Ω est une mesure sur IR (voir la définition de la fonction J), On pose H = L²(Ω)XL²(Ω) (qui est bien un espace de Hilbert) on peut muni cet espace par une norme associée au produit scalaire usuel de H. Alors on peut démontrer (quand la fonction J sera bien définie avec des conditions sur g) que:



qui est bien un élément de L(H,\R) (forme linéaire)

....

mathsss a écrit:

Ali Zulfikar a écrit:

Si tu pouvais réecrire ta Fonctionnelle J(. , .) correctement , on pourrait sans doute t'aider .....

J'ai pourtant essayé d'utiliser la syntaxe latex pour la définir...
La voici donc avec les moyens du bord.

J(f,g) = int_R (f²/g)(x) dx

Je ne sais pas si c est mieux.

Je crois pas que c'est la bonne écriture de J mais il fallait écrire cela

....

Salut à tous,

Merci pour vos réponses.

@Ali Zulfikar: Oui en effet, je me suis d'abord placée sur Omega puis j'ai bougé sur R. Mais ce n est pas réellement cela mon problème. En effet, il faut faire attention au rapport f^2/g. Mais on suppose à priori qu'il ne devrait pas avoir de problème et que ce rapport là est bien intégrable.
Merci en tous les cas.

@mathema: Merci pour ta réponse. J'ai finalement trouvé la même différentielle que toi. Moi ce qui m'intéresse c'est le gradient que l'on obtient en utilisant Riesz:
grad J = (2f/g, -f^2/g^2). Tu confirmes?

mathsss a écrit:

Salut à tous,

Merci pour vos réponses.

@Ali Zulfikar: Oui en effet, je me suis d'abord placée sur Omega puis j'ai bougé sur R. Mais ce n est pas réellement cela mon problème. En effet, il faut faire attention au rapport f^2/g. Mais on suppose à priori qu'il ne devrait pas avoir de problème et que ce rapport là est bien intégrable.
Merci en tous les cas ......

Bon ! Pour être RIGOUREUX dans la définition de ta Fonctionnelle J( . ; .) , il faudrait définir l'ensemble suivant :
W={ (f,g) dans L^2xL^2 , tels que f^2/g soit dans L^1 }
Espérer que W soit un ouvert de L^2xL^2 et montrer la Différentiabilité de J( . ; .) sur cet ouvert là W ....

PS1 : J'ai tjrs un esprit critique % aux énoncés que je lis ....
Il ne faut pas oublier aussi que tu manipules des Classes de Fonctions mesurables , donc imposer à g d'être presque partout non nulle ...
PS2 : Le résultat de mathema est le résultat que l'on devrait moralement trouver bien sûr sous les réserves précédentes ....

Tu as raison, il faut être rigoureux en maths Merci pour tes réponses.
J'en ai une autre aussi toujours dans le même esprit si tu veux bien y répondre, je vois que tu sembles bien t(y connaître.
Je vais essayer d'être rigoureuse cette fois!

Si tu considère la fonctionnelle suivante: J: L^((0,T)xIR) --> IR tq J(f) = int_0^T int_IR f^2(t,x) dt dx,
est ce que le gradient est toujours: grad J = f?
et donc cela est indépendant de T?

merci!

mathsss a écrit:

Salut à tous,

Merci pour vos réponses.

....

@mathema: Merci pour ta réponse. J'ai finalement trouvé la même différentielle que toi. Moi ce qui m'intéresse c'est le gradient que l'on obtient en utilisant Riesz:
grad J = (2f/g, -f^2/g^2). Tu confirmes?

Oui je confirme cela, en effet: si on considère l'espace (H, (. | .) ) tel que H=L²(Ω)xL²(Ω) et (. | . ) défini par :


telles que f=(f1,f2) , g=(g1,g2) des éléments de H et < f | g> =f1g1 + f2g2

alors H est bien un espace de Hilbert donc d'après théorème de représentation de Riezs on a:



ce qui montre d'après la différentielle que j'ai établis que:

mathsss a écrit:

......
Je vais essayer d'être rigoureuse cette fois!

Si tu considère la fonctionnelle suivante: J: L^((0,T)xIR) --> IR tq J(f) = int_0^T int_IR f^2(t,x) dt dx,
est ce que le gradient est toujours: grad J = f?
et donc cela est indépendant de T? .....

Je pense que tu travailles dans L^2((0,T)xIR) qui a une Structure Hilbertienne pour le produit scalaire :
<<u;v>>=int_0^T int_IR u(t,x).v(t,x) dt dx pour tout u, v dans L^2((0,T)xIR)
Dans ce cas J(f)=<<f;f>>

Il est alors CLASSIQUE que J est partout différentiable sur L^2((0,T)xIR) et que :
DJ(f) : h -------------> DJ(f).h=2 . int_0^T int_IR f(t,x);h(t,x) dt dx
c'est à dire que DJ(f)(.) =2. << f ; . >>
C'est donc un CAS très SIMPLE .....

Ta fonctionnelle J dépend d'une seule variable f en l'occurence donc il n'y a pas de notion de Gradient ....

Merci à tous les deux.
Cela confirme ce que je pensais.

@Ali: Cependant je ne suis pas d'accord, il y a bien une notion de gradient même si ta fonctionelle ne dépend que d'une variable. Du moins, dans les livres même les plus SIMPLES, tu trouveras le terme de gradient sans distinguer le cas d'une variable...

mathsss a écrit:

Merci à tous les deux .....
@Ali: Cependant je ne suis pas d'accord, il y a bien une notion de gradient même si ta fonctionelle ne dépend que d'une variable. Du moins, dans les livres même les plus SIMPLES, tu trouveras le terme de gradient sans distinguer le cas d'une variable...

De rien d'abord ....
Quand un Topic me plait , je n'hésite pas .....
D'autre part , le mot GRADIENT a plusieurs sens et parfois différents chez les Physiciens notamment ...
Disons que dans le cas d' UNE SEULE VARIABLE , GRADIENT et DERIVEE ou DIFFERENTIELLE ... c'est kif kif en fait !!! ...

Ali Zulfikar a écrit:

De rien d'abord ....
Quand un Topic me plait , je n'hésite pas .....
D'autre part , le mot GRADIENT a plusieurs sens et parfois différents chez les Physiciens notamment ...
Disons que dans le cas d' UNE SEULE VARIABLE , GRADIENT et DERIVEE ou DIFFERENTIELLE ... c'est kif kif en fait !!! ...

Merci pour ces précisions mais ca je le savais en fait!
On voit bien que ca fait longtemps que tu as quitté les livres simples pour de plus compliqués