Exo :
Soit f une fonction dérivable sur [0,1] tel que f(0)=f(1)=0
Et pour tout x de ] 0,1 [ f(x)n’est pas nulle , prouvez que f’(0)*f’(1)<=0
Question : je propose d’abord le début de ma solution puis ce qui me dérange :
Puisquef est dérivable sur [0,1], alors elle est continue sur ] 0,1 [et puisque elle ne s’y annule pas elle garde un signe constant (sinon il existera a et b de ] 0,1 [ tel que f(a)<=0 et f(b)>=0 donc il existera c (d’après TVI) tel que f(c)=0 ce qui est une contradiction avec l’énoncé) on prend par exemple (pour tout x de ] 0,1 [ :f(x)>0)est ce qu’on ne peut pas dire dans ce cas que pour tout x de ] 0,1 [ :f(x)>f(0)ouf(1) alors f a des extremums dans o et 1 donc f’(1)=0 et f’(0)=0
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