Spectre d'une matrice diagonalisable de G_n(Z)

Salut,
Soit M de G_n(Z) annulée par un polynôme à racines simples (complexes) de modules <= 1.
Montrer que les valeurs propres de M sont des racines de l'unité (i.e, pour toute valeur propre il existe un polynôme X^k-1 qui annule celle-ci).
(et désolé si c'est un peu facile !)

Soit E l'ensemble des polynômes unitaires de Z[X] de degré p dont le module des racines est inférieur ou égal à 1.
Soit M une matrice p x p, inversible, à facteurs entiers telle qu'il existe un polynôme P appartenant à E annulant M. Soit π(X-r) l'écriture scindée de P (comprendre le produit de 1 à p de X moins r indice i).
On considère alors l'application f : IN* ----> E qui à n associe π(X-rⁿ).
f est bien définie(*) et non injective car E est fini(*).
Alors il existe n < n' deux entiers positifs non nuls tels que rⁿ = rⁿ' pour tout indice i appartenant à [1,p].(*)
Les r ne peuvent pas être nuls car M est inversible, d'où la conclusion.
(*) : pas difficile à vérifier.

Comment tu prouves facilement que rⁿ = rⁿ' et pas, disons rⁿ = r'ⁿ' ?

Pour tout indice i de [1,p] :
Il existe deux entiers non nuls n < n' tels que rⁿ = sⁿ' où s est un r indice σ(i) avec σ une permutation d'indices de [1,p].
De même, il existe deux entiers non nuls n'' < n''' tels que que sⁿ'' = tⁿ''' où t un r indice σ(σ(i)). Donc rⁿⁿ'' = tⁿⁿ'''.
En itérant ce processus ord(σ) fois, σ est ici vu comme élément du groupe symétrique de [|1,p|], on aboutit à une égalité de puissances de r.

Oui d'accord

On peut aussi diagonaliser M (P-1M'P=M) et voir que la partie de M_n(Z) {M^k / k de N}={P^-1M'^kP / k de N} est bornée, elle est donc finie : c'est ce qui montre l'existence de deux entiers u>v tels que M^u=M^v.
Ça a l'avantage de montrer que toutes les valeurs propres sont racines du même polynôme (donc des racines h-ièmes pour h=u-v).

Application : montrer que tout polynôme P unitaire à coefficients dans Z tel que P(0) est non nul ayant des racines inférieures à 1 en valeur absolue a pour racines des racines de l'unité.

Si p est le degré de P, alors il existe une matrice p x p, à facteurs entiers, de polynôme caractéristique P (prendre par exemple une "matrice compagnon"...).
Cette matrice est inversible car P(0) est non nul.
Les racines de P, qui sont exactement les valeurs propres de cette matrice, sont des racines de l'unité.

cf theoreme de kronecker