Monotonie & valeur d'adhérance

salut svp j'ai un prombléme ; j'arrive pa à démontrer que :
Toute suite réelle monotone qui admet une valeur d'adhérance est convergente ;
:mur: :mur:

et merci d'avance

Soit (u_n) une suite croissante.
Soit φ une extractrice telle que u_φ(n) ----> L.
Soit ε > 0.
Alors il existe un entier naturel N tel que pour tout φ(n) ≥ N, |u_φ(n) - L| < ε.
On pose N' = min{φ(n)/φ(n)≥N}.
Alors pour tout n > N', il existe p tel que φ(p) ≤ n < φ(p+1).
Par croissance de la suite réelle (u_n) : u_n appartient à l'intervalle [u_φ(p) , u_φ(p+1)].
Donc |u_n - L| < ε.
D'où u_n -------> L.
La preuve est analogue pour une suite décroissante.

mercii proff ! je comprends enfin ; Allah yhfdek

Tu peux également montrer que ta suite est bornée, et donc elle converge ...

Dans le même genre et suivant la Loi de Conservation des Embêtements , on a un autre résultat du même genre :

<< Si une suite de réels est BORNEE et n'admet qu' UNE SEULE valeur d'adhérence alors cete suite est CONVERGENTE >>

Vous avez vu qu'on a supprimé la monotonie de la suite et on l'a remplacée par " BORNEE " et " UNE SEULE " val . d'adhérence ....

wé c ça ..c un corollaire du th de Bolzano-Weierstrass ..