Propriété es fermés emboités => Heelp !

Soit (E , ||.||) un Kevn
Montrer que (E , ||.||) est complet ssi pour toute suite décroissante (Fn)n£N de fermés bornés non vides de (E , ||.||) vérifiant lim d(Fn)=0 , inters(Fn) est un singleton .

NB inters = intersection

Je bloque sur cet exercice , je vous serai très reconnaissante si vous m'aidiez et Merci d'avance

BSR
essaye d'abord de montrer que l'intersection est non vide ;
pr n ds IN et xn ds Fn le fait que le diametre tends vers 0 entraine que (xn) est de cauchy ds le banach E ds cvge x £ E , cet x est bien ds l'intersection de tout les Fn puisqu'ils sont des fermés , donc l'intersection non vide
puisqu'ils sont emboités de diametre tendeant vers 0 donc l'intersection comporte au plus un element ( tu px raisonner par l'absurde en exploitant le diametre ) et puis tu conclut

Pk x serait dans l'intersection de tous les Fn ? j'aurai plutot dit qu'il est dans le Fn considéré

le x est ds Fn pr tout n ds IN .