Si f s'annule en un nombre fini de points (x_k) :
Alors par continuité, f garde un signe constant sur ]-l'infini, x_1[ et I_k=]x_k, x_(k+1)[ et ]x_n, +l'infini[, et par passage au logarithme, on obtient (ln|f(a)|+ln|f(b)|)/2 <= ln|f((a+b)/2)| pour tout a,b de ces intervalles (on prend x=(a+b)/2 et y=(a-b)/2), ce qui suffit pour clamer que lno|f| est concave sur ces intervalles et donc que (lno|f|)'' = (f''f - f'²)/f² <= 0, d'où l'inégalité. Et si t=x_k, l'inégalité est vérifiée trivialement.
On peut aussi développer le même argument pour les fonctions qui s'annulent en un nombre infini dénombrable de points x_k indéxés sur Z avec lim_(-infini) x_k = -infini et lim_(+infini) x_k = +infini, comme c'est le cas pour les fonctions périodiques (cos).
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