theoreme de wilson

Exercice
Le but de cet exercice est de demontrer le theoreme de Wilson : un entier n ≥ 2 est premier
si et seulement si (n − 1)! ≡ −1 [n].
1. Soit p ≥ 2 premier. Combien de solutions l'equation x²=1 admet-elle de solutions dans
Z/pZ ?
2. Soit p ≥ 2 premier. Montrer que (p − 1)! = −1 [p].
3. Soit n ≥ 2 un entier tel que n divise (n−1)!+1. Montrer que pour tout a ∈ {1, . . . , n−1},
a est inversible dans (Z/nZ, ×). En deduire que n est premier.

1- on considère : f : ((Z/pZ)*,x) -> ((Z/pZ)*,x) tq f(x)=x² f est un morphisme de groupes

et on sait que si f : G-> G est un morphisme de groupes alors : Card(G)=Card(Ker(f))Card((Im(f))

donc Card((Z/pZ)*)=Card(Ker(f))Card(Im(f))

et Card((Z/pZ)*)=p-1

avec Card(Im(f))= nombre de solutions de x²=1
et x £ Kerf si et seulement si x²=1 ssi (x-1)(x+1)=0 ssi x=1 ou x=-1

donc : Card(Ker(f))=2 donc nombre de solutions = (p-1)/2

2-En fait on élimine dans le produit des p-1 éléments de (Z/pZ)* chaque produit d'un élément par son inverse, à l'exception des éléments qui sont leur propre inverse : les racines du polynôme X² - 1 dans le corps Z/pZ , c'est-à-dire la classe de 1 et celle de -1. Lorsqu'on élimine, dans le produit, les paires d'inverses mutuels dont le 1, il reste donc uniquement ces deux classes , d'où

(p-1)! = -1*1 = -1 [p]

bonjour
on a: p est premier donc ((Z/pZ)*,.) est un groupe càd chaque élé de ((Z/pZ)*,.) est inversible
[soit x<p on a il existent (u,v)£Z tq: xu+pv=1 => xu=1[p] inversible]
on cherche les éléments x tq x²=1 (l'inverse de x c'est lui-même) =>(x-1)(x+1)=0=> x=1[p] et x=p-1[p] sont les solutions
finalement (p-2)!=1[p] car pour tout x£{2..p-2} x^-1£{2..p-2} donc (p-1)!=-1[p]

inversement: on suppose que (n-1)!+1=0[n] soit a<n et a£N on pose d=PGCD(a,n)
d/a et a<n donc d/(n-1)!
d/n donc d/(n-1)!+1 d'après la supposition
donc d/1=>d=1 (la différence) conclusion: pour tout a<n PGCD(a,n)=1 donc n premier
fin

EXERCICE
soit p€N tel que p>2et p premier.
1-quelle est la structure algébrique de Z/pZ?
2-dans l'anneau Z/pZ quels sont les éléments qui sont leur propre inverse?
3-en déduire que p divise (p-1)!+1
4-énoncer le théorème de wilson(en s'inspirant de la question précédente)
5-démontrer le théorème de wilson

EXERCICE
soit p€N tel que p>2et p premier.
1-quelle est la structure algébrique de Z/pZ?
2-dans l'anneau Z/pZ quels sont les éléments qui sont leur propre inverse?
3-en déduire que p divise (p-1)!+1
4-énoncer le théorème de wilson(en s'inspirant de la question précédente)
5-démontrer le théorème de wilson