angle inscrit et angle de centre

Bonsoir à tous

J'ai un exercice à faire et je ne sais pas finir la fin quelqu'un peut 'il m'aider d'avance merci

A, B et M sont trois points du cercle de centre O de telle sorte que les angles AMB et AOB interceptent l'arc de cercle AB. Montrons que AOB = 2 * AMB.

premier cas: [AM]est un diamètre du cercle
On désigne par x la mesure en degré de l'angle AMB
Quelle est la nature du triangle OMB ? Justifie ta réponse.
Exprime les mesures des angles du triangle OMB en fonction de x.
Déduis en la mesure de l'angle AOB.

deuxième cas: Le point O appartient au secteur angulaire AMB.
on appelle N le point du cercle de sorte que [MN] soit un diamètre.
Que dire des angles AMN et AON ?
Que dire des angles NMB et N
OB ?
Montre alors que dans ce cas la propriété est vérifié.

troisième cas: Le point O n'appartient pas au secteur angulaire AMB.
en considérant le diamètres [MN] montre comme au deuxième cas que AOB = 2 * AMB.

cas n°1

OM=OB car ce sont deux rayons du cercle
donc le triangle OMB est isocèle en O
donc angle OMB= angle OBM

mais angle OMB = x, donc OBM = x

dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°
donc angle BOM = 180 - 2x

il reste la question "Déduis en la mesure de l'angle AOB."
[AM ]est un diamètre, donc angle AOM = 180°
angle AOB = 180 - BOM
je remplace BOM par ce que j'ai trouvé
angle AOB = 180 - (180 - 2x) = 180 - 180 + 2x = 2x
donc angle AOB = 2x

cas n ° 2

AMN est un angle inscrit qui intercepte l'arc AB
AON est un angle au centre qui intercepte le meme arc AB alors la mesure de l'angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit
donc AON = 2* AMN


l'angle inscrit NMB et l'angle au centre NOB interceptent le même arc AB.
or dans un cercle, si l'angle inscrit et un angle au centre interceptent le m^eme arc alors la mesure de l'angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit
donc NOB = 2 * NMB

mais AOB=AON+N0B
donc AOB = 2* AMN + 2 * NMB = 2 AMB

donc la propriété est vérifiée par contre je n'arrive pas à finir le cas n °3 pouvez vous m'aider un peu merci

dans ce cas, soit AMB = AMN- BMN, soit AMB = NMB- NMA tandis que dans le cas précédent, AMB = AMN + NMB. En effet, il y a deux cas particuliers communs aux cas 2 et 3, là où N = A ou N = B, lesquels ne sont autres que les deux possibilités du ... cas 1, [AM] est un diamètre, mais autrement [BM] est un diamètre.