Centre d'un anneau régulier

Salut,
On dit qu'un anneau A est régulier si, pour tout a de A, il existe k de A tel que aka=a.
Montrer que le centre d'un anneau régulier est régulier.

si tu veux dire avec le centre d'un anneau l'ensemble des éléments qui commutent avec tout les éléments,..alors c'est simple et il suffit d'appliquer la définition...

Surtout que c'est un oral d'ENS , il suffit d'appliquer la définition ...

Soit C le centre de A
Soit a€C, a=aka avec k€A.

Soit x€A,
a=a²k€C
==> a²kx=xa²k
==> a²(kx-xk)=0
==> ka²(kx-xk)=0
==> a(kx-xk)=0
==> akx=axk=xak
Donc ak€C

Soit x€A,
ak€C et ak=ka
==> ak²x=kxak=akxk=xkak=xak²
==> ak²€C

a=aka=a(ak²)a et ak²€C ==> a régulier dans C

Exactement.