un polygone régulier convexe à 1 000 sommets

L'Exercice 2 proposé aux olympiades français 2006 Versailles
On considère un polygone régulier convexe à 1 000 sommets, chacun étant coloré soit en rouge, soit en vert, soit en bleu.
Une opération consiste à choisir deux sommets consécutifs n’ayant pas la même couleur et à les recolorer en attribuant à chacun la troisième couleur.

1.
Prouver que, quelle que soit la coloration initiale et à l’aide d’un nombre fini d’opérations successives, il est possible de se ramener à une coloration des 1 000 sommets qui n’utilise pas plus de deux couleurs.

2.
Un bloc est un ensemble de quatre sommets consécutifs. Si ces quatre sommets sont de la même couleur, on dit que le bloc est monochrome.
a) Prouver que tout bloc peut être transformé en un bloc monochrome à l’aide d’un nombre fini d’opérations, et ce, sans modifier la couleur des sommets qui ne sont pas dans le bloc considéré.

b) Prouver que, si deux blocs monochromes sans sommet commun sont consécutifs, on peut échanger leurs couleurs en un nombre fini d’opérations.

c) Prouver que l’on dispose sur les blocs monochromes d’une opération analogue à celle définie sur les sommets.

d) Prouver que, quelle que soit la coloration initiale et à l’aide d’un nombre fini d’opérations successives, il est possible de se ramener à une coloration des 1 000 sommets qui n’utilise qu’une seule couleur.