Exercice qui préocuppe ( rachad )

Bonjour, il y a 2 jours j'ai fais un exercice sur rachad, arrivé a une question, j'ai mis une réponse qui ne m'a pas vraiment convaincu, quand j'ai consulté la solution j'ai troué qu'ils ont fait la meme chose et je trouve que c'est faux et incomplet, je vais postuler l'exercice pour voir ce que vous allez proposer et on discutera de la solution .

Soit la fonction numérique f définie par :
f(x) = x*ln((x+1)/x) ; x > 0
f(0) = 0

1)-a- étudier la continuité de f a droite de 0
b- étudier la dérivabilité de f a droite de 0
c- calculer la limite de f quand x tend vers +oo

2)-a- démontrer que ln((a+1)/a) > 1/a+1 ( vous pouvez appliquer TAF sur u(x)=ln(x) sur [a,a+1] )
b- dresser le tableau de variations de f

3)-Dessiner la courbe représentative (C) de la fonction f
4)-a- démontrer que f est une bijection de IR+ vers une intervalle qu'il faut préciser
b-Résoudre dans IR+ l'équation f(x) = f^-1(x) ( avec f^-1 la fonction réciproque de f )

Je vous attends les amis !

1
a- lim f(x)=lim x*ln(x+1)-x*ln(x)=f(0)=0 (x tend vers 0+)
b- lim f(x)/x=lim ln(x+1/x) = + linfini (x tend vers 0+)
c- lim f(x)= lim x*ln((x(1+1/x))/x) = lim x*ln(1+1/x)
On pose h= 1/x x--> + l'infini ===> h --> 0+
lim x*ln(1+1/x)= lim ln(1+h)/h = 1

2- On utilise TAF comme il est indiqué
f est strictement croissante sur R+

4- f est continue et dérivable en R+ donc c'est une bijection et l'intervalle est [0,1[
b- f(x)=f^-1(x) veut dire que f(x)=x
Sauf erreur

soumitous a écrit:

b- f(x)=f^-1(x) veut dire que f(x)=x
Sauf erreur

Developpe ça stp, comment es tu arrivé a cette conclusion ?

Les deux courbes Cf et Cf^{-1} sont symétriques par rapport à la droite qui a pour équation f(x)=x, donc f(x)=f^{-1} seulement si f et f^{-1} sont applicables, c-à-d quand f(x)=f^{-1}(x)=x. La résolution de l'équation f(x)=x sera l'intersection des deux courbes f et f^{-1} et qui sera un point pour coordonnés (x,x).

Je trouve que ce cas n'est pas le seul possible,
prenons une fonction f tel que f(2) = 4 et f(4) = 2 , f(x) = f^-{1} pour x=2 alors que le point M(2,4) n'appartient a l'axe y=x non ?

salut!
en effet si f est déjà une fonction symétrique par rapport à y=x ,la solutions peut être x /x€Df ,sinon ,on peut utiliser une démo par l'absurde:supposons que f(x)=/=x
donc f(x)<x ou f(x)>x
prenons le premier cas: f(x)<x donc x<f-1(x)(f est croissante) ,donc x<f(x) contradiction!
idem pour l'autre cas ...et tout ça est à vérifier ...

f(x)= f-1(x) => Cf et Cf-1 se coupent en un point (minimum). Du moment qu'ils sont symétriques par rapport à la droite y=x donc ce point va surement appartenir à cette droite (je l'ai compris ainsi mais je trouve que la démonstration de m.marjani et manazerty sont plus claires ^^)

J'ai bien compris vos solution les amis, merci de m'avoir éclairé.
Mais une question : ne devrait-on pas d'abord démontrer que la fonction n'est PAS symétrique par rapport a x=y ? parceque si elle l'est , ( Cf ) sera ( Cf-^1) et donc f(x) = f^-1(x) n'impliquera pas l'intersection avec y=x non ?

quand une fonction et symétrique par rapport à y=x, f(x)=y ==>x=f(y) ,donc il va falloir trouver la réciproque et montrer qu'elle n'est égale à f que dans un point ou + .. ou bien résoudre l'équation après l'avoir trouver(et si elle est égale à f uniquement sur un intervalle ?!) ,donc je crois que c'est pour cette raison que la solution n'est pas détaillée,car c'est pas tjrs facile, ni possible pour nous de trouver la fonction réciproque...ettout ça est à vérifier ...

mais au fait ,dans ce cas ci ,vu que f est strictement croissante sur R+ elle ne peut en aucun cas être symétrique par rapport à y=x ,et la démonstration par l'absurde que j'ai déjà donné est largement suffisant dans cette exo ,on n'est pas obligé de démontrer qu'elle n'est pas symétrique.la symétrie n'est possible que lorsque f est décroissante par exemple :f(x)=1/x ,car dans ce cas la démo par l'absurde ne servirait à rien ,on aurait pas de contradiction et y=1/x ==>x=1/y
amicalement