trouver tous x,y

Trouver tous les entiers x,y tels que :
x^3+y^3+x²y+y²x=8(x²+y²+xy+1)

diablo902 a écrit:

Trouver tous les entiers x,y tels que :
x^3+y^3+x²y+y²x=8(x²+y²+xy+1)

L'équation proposée est équivalente à .
On pose, en guise de simplification, et .
On a donc .
L'équation s'écrit encore .
Ou encore .
Et cela veut dire .==>(*)
Cette relation implique que est un entier pair.
D'où l'existence d'un entier tel que .
Lorsqu'on reprends dans l'équation, on tombe sur ou encore sur .
On écrit l'équation de la manière suivante .
On obtient ainsi .
Ce qui veut dire que divise 18.
Ainsi .
Et .
Donc .
On se ramène tout simplement vers une distinction marrante de cas:
On prends un entier de l'ensemble précédent et on le remplace dans *.
Lorsqu'on calcule p, on se ramène à rsoudre l'équation .
Si le discriminent est négatif ou n'est pas un carré parfait, on n'aura plus de solutions.
On a les résultats suivants:
***Si s=6, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=8, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=10, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=16, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=22, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=40, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=2, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=0, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-2, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-8, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-14, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-32, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Synthèse: le problème proposé n'admet aucune solution entière.

Sauf erreurs.
J'ai perdu beaucoup de temps en cherchant comment diminuer les cas, mais en vain.
J'attends vos critiques et vos solutions alternatives.

C'est clair que tu as perdu beaucoup de temps x)

Moi j'avais essayé de simplifier et diminuer les cas, mais je trouvais qu'il y a 32 cas avec plusieurs sous cas donc j'ai arreté. Je crois qu'il y a donc erreur dans l'ennoncé...

nmo a écrit:

diablo902 a écrit:

Trouver tous les entiers x,y tels que :
x^3+y^3+x²y+y²x=8(x²+y²+xy+1)

L'équation proposée est équivalente à .
On pose, en guise de simplification, et .
On a donc .
L'équation s'écrit encore .
Ou encore .
Et cela veut dire .==>(*)
Cette relation implique que est un entier pair.
D'où l'existence d'un entier tel que .
Lorsqu'on reprends dans l'équation, on tombe sur ou encore sur .
On écrit l'équation de la manière suivante .
On obtient ainsi .
Ce qui veut dire que divise 18.
Ainsi .
Et .
Donc .
On se ramène tout simplement vers une distinction marrante de cas:
On prends un entier de l'ensemble précédent et on le remplace dans *.
Lorsqu'on calcule p, on se ramène à rsoudre l'équation .
Si le discriminent est négatif ou n'est pas un carré parfait, on n'aura plus de solutions.
On a les résultats suivants:
***Si s=6, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=8, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=10, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=16, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=22, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=40, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=2, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=0, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-2, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-8, on aura .
Donc , donc .
On a , qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-14, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-32, on aura .
Donc , donc .
On a , qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Synthèse: le problème proposé n'admet aucune solution entière.

Sauf erreurs.
J'ai perdu beaucoup de temps en cherchant comment diminuer les cas, mais en vain.
J'attends vos critiques et vos solutions alternatives.

k est un entier(x et y le sont )
c'est un exercice ImO 1980

diablo902 a écrit:

k est un entier (x et y le sont )
c'est un exercice ImO 1980

Ce n'est pas une critique mon cher.
Un entier est soit positif, soit négatif.
Il faut chercher une autre methode pour diminuer les cas.

Bonsoir,

Je viens de trouver enfin la solution:
S = {(2,8);(8,2)}

Je vous laisse donc chercher un peu avant de poster ma méthode,
bonne chance ;)

nmo a écrit:

diablo902 a écrit:

k est un entier (x et y le sont )
c'est un exercice ImO 1980

Ce n'est pas une critique mon cher.
Un entier est soit positif, soit négatif.
Il faut chercher une autre methode pour diminuer les cas.

J'ai oublié positives.En tout cas votre méthode est fausse

Bonsoir,
diablo902, si ce n'est pas ta solution, pourquoi donc la poster et en anglais en plus ???

Bon, voici ma solution:
On pose x^2+y^2 = a , x+y = b.
Comme nmo, j'ai trouvé que:
b E {6,8,10,16,22,40,2,0,-2,-8,-14,-32}
D'une autre part, l'equation est equivalente à:
a(b-4) = 4b^2 +8 (*) ==> b > 4.
Donc:
b E {6,8,10,16,22,40}
En remplacant dans (*), on trouve que:
Seuls b = 10 / a = 68 peuvent satisfaire la relation, en utilisant les carrés parfaits.
Enfin:
S = {(2,8);(8,2)}

PS: Mon grand frère a trouvé le meme résultat en utilisant la dérivation sur x et sur y.

diablo902 a écrit:

J'ai oublié positives. En tout cas votre méthode est fausse

Non, la methode est bonne.
Mais, je me suis trompé dans les calculs.
En tout cas, merci pour la solution.