Application page:95 exo:91 (moufid)

soit E,F,G 3 groupe et f une application de F vers G.
1)Prouvez que f est injective si est seulement si pour chaque fonctions h et g de F vers E:
fog=foh ==> g=h

2)Prouvez que f est surjectiv si est seulement si pour chaque fonctions h et g de G vers F:

gof=hof ==> g=h

pour la premiere question :
Demonstration de la premiere implication
f est une application definies de F vers G
donc si f est injective
pour tt x et y appartenant a F
f(x)=f(y)=> x=y
et puisque g et h sont definies de E vers F alors g et h appartiennent a F
d'ou fog=foh=>g=h
Si fog=foh=>g=h
alors puisque g et h appartiennent a F
soit a et b appartenant a F tel que g(x)=a et h(x)=b (a et b sont des parametres reels)
alors fa=fb=>a=b pour tt a et b appartenant a F
d'ou f est injective

shinji kun a écrit:

soit E,F,G 3 groupe et f une application de F vers G.
1)Prouvez que f est injective si est seulement si pour chaque fonctions h et g de F vers E:
fog=foh ==> g=h

2)Prouvez que f est surjectiv si est seulement si pour chaque fonctions h et g de G vers F:

gof=hof ==> g=h

h et g sont definies de E vers F