quelques indications pour cette olympiade SVP

svp.

Pour l'exo 3

Comme x est un réel strictement positif, alors (1-V(x))² > 0 équivaut à 1+x-2V(x) > 0 équivaut à 1+x > 2V(x)

Pour en déduire la deuxième inégalité, il suffit d'appliquer l'inégalité précédente à x_1, x_2, ..., x_n, et de multiplier (tout est strictement positif)

Pour la dernière question, on a :

-> a²+b² > 2ab car (a-b)² > 0
-> a²b²+1 > 2ab car (1-ab)²>0

En sommant ces deux inégalités, on obtient : a²+b²+a²b²+1 > 4ab soit (1+a²)(1+b)² > 4ab

Rq : il faut mettre à chaque fois des inégalités larges.

Je n'ai pas réussi à traduire les autres exos, mais si tu me les traduis, je pourrai t'aider

Pour l'exo 4, il faut résoudre (si je traduis bien) l'équation V(x+23)+V(x)=46

On a :

46-V(x) = V(x+23)
(46-V(x))² = x+23
46²+x-92V(x) = x+23
92V(x) = 2093
V(x) = 2093 / 92
x = 8281 / 16

On reporte dans l'équation et on vérifie que ce x est bien solution.

Ensuite, il faut résoudre V(x+23) - V(x) = 46, c'est bien ça ?

Rédemption a écrit:

Pour l'exo 4, il faut résoudre (si je traduis bien) l'équation V(x+23)+V(x)=46

On a :

46-V(x) = V(x+23)
(46-V(x))² = x+23
46²+x-92V(x) = x+23
92V(x) = 2093
V(x) = 2093 / 92
x = 8281 / 16

On reporte dans l'équation et on vérifie que ce x est bien solution.

Ensuite, il faut résoudre V(x+23) - V(x) = 46, c'est bien ça ?

nn on a demande sans cakculer x
je propose ma solution:
on a V(x+23)+Vx=46 (1)
soit 46(V(x+23)-Vx)=23
d'ou V(x+23)-Vx =1/2 (2)
pour la deuxieme question il faudra simplement sommer (1) et (2)
ce qui donne finalement V(x+23)=93/2
on leve au care et puis conclure

ah merci ! : ))

Pour obtenir (1) je fais : (V(x+23)+V(x))(V(x+23)-V(x))=23=46(V(x+23)-V(x))

pour l'exercice 2) je pense que la réponse est non , car entre deux rationnels a et b tel que : a<b il existera tjrs un rationnel ''c'' tel que : a<c<b 'par exemple : c= (a+b)\2 . pour le dernier exercice : on a quelque soit m dans R: m(x-y)+(y+3)=0 , on prend m=0 on obtient y=-3 on prend m=1 on obtient x=-3 , ainsi quelque soit m dans R : Dm passe par un point fixe de coordonné : I(-3,-3) . pour l'exercie 5) 1- on a : (x-14)(y-14)=14² ,d'ou il existe p et s tel que : y-14=p² et x-14=s² donc x=14+s²<16 ainsi s=1 ou s=0 , d'ou x=15 et p²=14² donc y=210 ainsi S_{N}={(15,210),(0,0)} pour la 2) en développement en reveint a la 1er) équation d'ou S={(15,210)} . finalement pour l'exercice 1) : je pense que la seule partie ou il y'aura des difficulté c'est la question deux , bon voila ce que je propose on a : 122...2(2009)=10^2009+2(11...1(2008 fois)) or on a : 11=1+10=10^0+10^1 , 111=1+10+100 ainsi par un raisonnement analogue on obtient : , on prenant n=2008 puis avec en simplifiant le dénominateur de la même façon la forme de A(x) apparaîtra de même pour l'autre fraction qui nous donnera la forme de B(x) , puis tu déduit la comparaison a partir de la 1) er question . Bonne chance .

Bonsoir
Merci lamperouge ainsi que rédemption
pour l'exercice 6
on à mx+(1-m)y++3=0 <=>m(x-y)+y+3=0 or ceci est vrai V xER <=>x-y=0 et y+3=0
on trouve x=-3 et y=-3
d'ou I=(-3,3) est ce juste ?
pour l'exercice 5
1) (x-14)(y-14)=14*14 or x<16 =>x-14<2 et comme xeN alors x-14=1
x-14=1 et y-14=14*14=196 <=> x=15 et y=182 désolé y=210 de même x=0 et y= 0 aussi sont solutions
2) 1/x+1/y=1/14 => (x+y)/xy=1/14 =>14(x+y)=xy =>14(x+y)-xy=0
or x<16 =>1/x>1/16 alors là je me bloque ?
ou bien si je pose 1/x=A et 1/y=B on aura A+B=1/16 avec A>1/16 ......?
exercice2
quel est le nombre s'il existe dans Q qui suit le nombre 19.3
or 19.3=193/10 pas claire
mais pour la 1ère exercice est ce tu peux être claire Oty j'ai fais la différence A(x)-B(x)= 6x^2/(7x+1)(4x+1)
et après on étudie le dénominateur donc un intervalle
Merci d'avance.
Cordialement

Bonsoir,
SVP j'attends la réponse pour la 1ère exercice,est ce qu'il y'a quelqu’un peut poster la réponse
pour la 1ère question j'ai trouvé, A(x)>=B(x) si xe ]-00;-1/4[U]-1/7;0]
A(x)<B(x) si xe ]-1/4,1/7[U]0,+00[ ??
pour la 2ème question je me suis bloqué pourtant j'ai voulu appliqué la méthode de Oty
1222...22(2 soit 2009 fois): 10^2009+2(10^8-1)/9
1444...44(4 soit 2009 fois): 10^2009+4(10^8-1)/9
A(x)=...
B(x)=...

pour le premier exercice:
1ere question
on a A(x)=1-2x/(1+4x)
B(x)=1-2x/(1+7x)
A(x)-B(x)=2x(1/(1+7x) - 1/(1+4x))
puis conclure

Bonsoir, lamperouge
Merci pour la réponse
oui j'ai fais ça la question est de comparer A(x) et B(x) oui j'ai fais la différence de:
A(x)-B(x)=-6x^2/(1+4x)(1+7x) j'ai trouvé l'encadrement que j'ai mentionné à la dernière poste mais mon problème pour la deuxième question j'ai fais la démarche que Oty m'a proposé mais je suis bloqué et j'attends un coups de mains.
cordialement.

Bonsoir a maherom , enfaite c'est plus simple que je ne le pensais , l'utilisation de la formule de 111....1(nfois)=10^n-1\9 , permet de comparé mais ne donne pas la forme de A(x) et B(x) , j'ai procédé autrement mnt , voila ce que je te propose : et la tu simplifie par 10^2009 et on pose x=0,11...1 , tu obtiens A(x) , tu fais de même pour le second terme tu obtient B(x) puis tu en déduit la comparaison d’après 1) ....

Bonsoir,
Merci infiniment Oty oui j'ai trouvé à la fin A(x) et B(x) donc je me suis retourner à la 1ère question.
pour l'exercice N°2 si j'ai bien compris vous avez utiliser la propriété de Q, est que Q est dense dans R soit entre deux rationnels il existe toujours un rationnel et donc y'a pas de rationnel qui le successeur de 19.3 est ce vrai ?
et pour l'exercice 5 je crois je me suis bloqué dans la 2ème question.
Cordialement.
Maher

Bonjour,
Pour l'exo 5:
1) on sait que x,y<16 et x,y £ IN donc on prend x,y=0 donc (x-14)(y-14)=-14*-14=14²
et la deuxieme solution juste et x,y=28 donc on deduit que x,y=0
2)on 1/x+1/y=1/14 donc x,y £ IN*
on a 1/x+1/y=1/14 --> (x+y)/(xy)=1/14 --> 14(x+y)/xy=1 --> 14(x+y)=xy --> 14(x+y)-xy=0
--> -14(x+y)+xy=0 --> -14x-14y+xy=0 --> -14x-14y+xy+14²=14² --> x(y-14)-14(y-14)=14²
--> (x-14)(y-14)=14² ==> donc selon la question 1 on a la seul solution est x,y=0 et puisque x,y £ IN* donc il n'y a pas de solution pour 1/x+1/y=1/14 avec x,y<16

Amicalement.
Aymane

mathcracker a écrit:

Pour l'exo 5:
1) on sait que x,y<16 et x,y £ IN donc on prend x,y=0 donc (x-14)(y-14)=-14*-14=14²
et la deuxieme solution juste et x,y=28 donc on deduit que x,y=0

Ce n'est pas la bonne démarche. Grosso modo, c'est faux.

Exercice 6:

mx+(1-m)y+3=0
mx+y-my+3=0
Ceci est équivalent à : m(x-y) =-y-3
Et pour que Dm passe par un point constent kyfama kanat 9iamt m :
on doit résoudre dans R² :
x-y=0
-y-3=0

Donc : y=-3
et x=3 .
Donc I(-3,-3)

Bonsoir,
je crois je viens de trouver la réponse grâce à OTY que je le salut.
t'as raison pour la 2ème question ex5. en développant en trouve 14(x+y)-xy=0 soit 14x+14y-xy=0 en ajoutant et en retranchant 14^2 on trouve : 14x+14y-xy-14^2+14^2=0 en factorise en trouve bien la 1ère question (x-14)(y-14)=14^2
et comme x et y sont non nuls en trouve bien {(15,210)}
cordialement.
Maher

Au plaisir