Du Serbian National Olympiad 2012

Soit ABCD un parallélogramme et P un point appartenant à [BD] tel que <PCB = <ACD. Le cercle circonscrit au triangle ABD intersecte [AC] à A et E. Montrer que <AED = <PEB

konica a écrit:

Soit ABCD un parallélogramme et P un point appartenant à [BD] tel que <PCB = <ACD. Le cercle circonscrit au triangle ABD touche [AC] à A et E. Montrer que <AED = <PEB

Il vaut mieux dire "intersecte" au lieu de "touche".
Je te propose une approche complexe de résolution, je ne fais pas les calculs car ils deviennent houleux à un certain moment (et s'il s'agissait d'un olympiade que j'ai passé, j'aurai dû le faire):
1)Tu supposes que le cercle circonscrit au triangle ABD est le cercle unité.
Les affixes des points A, B, D et E sont respectivement a, b, d et e.
2)Tu calcules une équation de la droite (AE) et de la droite (BD).
3)Tu utilises le fait que C appartient à (AE) et que (BC) et (AD) sont parallèles pour calculer l'affixe du point C.
En effet tu trouve un système dont l'inconnue est c l'affixe de C.
4)Tu utilise le fait que et que P appartient à (BD) pour calculer l'affixe p du point P.
Utilises la notion de l'argument d'un complexe.
5)Il ne reste qu'à vérifier que .
D'où le résultat.
S'il existe une approche euclidienne de résolution, elle sera la bienvenue.
Au plaisir!

dear Nmo voila :
ma approche euclidienne

Spoiler:

au Plaisir .

Deux belles solutions!
Mais puisqu'on a pas encore étudié les nombres complexes, je préfère la solution de az360.
Merci!