On a :
D'où:
<sin(1)&space;<&space;sin(\frac{\pi&space;}{3}) )
&space;<&space;\frac{\sqrt{3}&space;}{2})
(1)
Et puisque la fonction x--> cos (x) est une fonction décroissante, on aura:
<cos(1)&space;<&space;cos(\frac{\pi&space;}{4}))
D'où: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+\frac{&space;\sqrt{2}&space;}{2}&space;<[sin(1)+cos(1)]^{2}<1+\frac{\sqrt{6}&space;}{2}[/img] (2)
Et en multipliant (1) par (2) on aura:
.cos(1)&space;<&space;\frac{\sqrt{6}&space;}{4})
D'où:
.cos(1)&space;<&space;1+\frac{\sqrt{6}&space;}{2})
Et on sait que: [sin(1)+cos(1)]²= 1+2sin(1).cos(1)
Donc: [img] http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+\frac{&space;\sqrt{2}&space;}{2}<[sin(1)+cos(1)]^{2}<&space;1+\frac{\sqrt{6}&space;}{2} [/img]
Donc: [img] http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+\frac{&space;\sqrt{2}&space;}{2}&space;<[sin(1)+cos(1)]^{2}<1+\frac{\sqrt{6}&space;}{2} [/img]
D'où le résultat voulu !
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