Oty
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 | | Sujet: Nouveau Dim 27 Mai 2012, 17:21 | |
| a,b,c >0 , Montrer que :  . | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Nouveau Dim 27 Mai 2012, 19:02 | |
| Salut, voici ma réponse: L'inégalité est équivalente à: \left%20(%20\sum%20\frac{a^2}{a+b}%20\right%20)\leq%20\frac{3}{2}\left%20(%20a^2+b^2+c^2%20\right%20)) Et: \left%20(%20\sum%20\frac{a^2}{a+b}%20\right%20)=\frac{ca^2}{a+b}+a^2+\frac{ab^2}{b+c}+b^2+\frac{bc^2}{a+c}+c^2) . Il suffit montrer que: ) ou: (b+c)+ab^2(a+b)(a+c)+bc^2(a+b)(b+c)\leq%20\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)(a+b)(a+c)(b+c)) . Et on a: (b+c)=(a^2bc+a^2c^2)(a+c)=a^2c^2(a+c)+abc(a^2+ac)) Donc: +abc(\sum%20a^2+\sum%20ab)) . Et on trouve après développement que: +a^2b^2(a+b)+2abc(\sum%20a^2+\sum%20ab%20)%20\right%20)) . D'où: %20+abc(\sum%20a^2+\sum%20ab)\leq\frac{1}{2}\left%20(%20\sum%20ab(a^3+b^3)+a^2b^2(a+b)+2abc(\sum%20a^2+\sum%20ab%20)%20\right%20)) %20\leq\sum%20ab(a^3+b^3)\Leftrightarrow%20\sum%20ab(a^3+b^3-a^2b-ab^2)\geq%200) (a-b)^2\geq%200) ... Ceci finit la démonstration ! | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Nouveau Sam 02 Juin 2012, 12:28 | |
| Salut encore une fois  , bon je propose une méthode alternative (qui n'est pas la mienne) pour montrer cette inégalité: , bon, voilà: On a: -abc}{a+b}=ac-\frac{abc}{a+b}) , donc: ) , ainsi, il faut démontrer que: +abc\left%20(%20\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right%20)) . Et d'après CS: }) , alors: +\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)\right%20\geq%20\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)) . donc, il suffit montrer que: }+\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)\geq%20ab+ac+bc) , ce qui n'est rien qu'une autre forme de l'inégalité de Schur dans le cas t=1... | |
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