Petit exo d'arithmétique

1) montrer que 173 est premier. (fait)

2) Soient m et de IN* tels que m et n sont premiers entre eux et vérifient : m^14 + n^14 = 0 [173].

2-a) montrer que 173 ne divise pas m. (fait)
2-b) en déduire l'existence d'un entier relatif q tel que : mq = 1 [173] (fait bézout)

2-c) montrer que l'équation x^14 = 172 (x et 172 avec des barres dessus) a au moins une solution dans Z / 173Z. (je bloque sur cette question)

PS: niveau terminale S.M.

On a 172=-1 ( dans la classe d'équivalence modulo 173 ) ainsi : il suffit de prouver l'existence d'un x t.q : x^14=-1, mais puisque -m^14=n^14 , alors (nq)^14=-1 (puisque mq=1) donc il suffit de prendre x=nq, et le tour est joué .

Mehdi.O a écrit:

On a 172=-1 ( dans la classe d'équivalence modulo 173 ) ainsi : il suffit de prouver l'existence d'un x t.q : x^14=-1, mais puisque -m^14=n^14 , alors (nq)^14=-1 (puisque mq=1) donc il suffit de prendre x=nq, et le tour est joué .

Je pense que ton raisonnement est incorrect, car l'existence du couple (m;n) n'est pas réelle mais fait l'objet d'une proposition suffisante dans une implication et qui peut bien être fausse.
je te prie de relire l'énoncé encore une fois pour rectifier ce qu'il faut rectifier.

En utilisant le théorème de Wilson tu peux démontrer que,(172/2)!^(2)=-1[173] après tu met le tout à la puissance 7.

darkpseudo a écrit:

En utilisant le théorème de Wilson tu peux démontrer que,(172/2)!^(2)=-1[173] après tu met le tout à la puissance 7.

Merci pour ta réponse, mais Wilson est hors programme. D'ailleurs cela semble être une grosse arme pour une telle question.

173=2^(2)+13^(2), et tu multiplie par l'inverse de l'un des deux ( par exemple par 87^(2)). Après tu mets tout puissance 7.