exercice d'arithmétique

D´eterminer tous les ensembles X d’entiers strictement positifs
contenant au moins deux ´el´ements et tels que, si m et n sont dans X avec n > m alors il
existe un ´el´ement k appartenant à X v´erifant n = mk²

Soit a et b les deux plus petits éléments de notre ensemble avec b>a alors il existe k tel que
b=a*k^(2) mais a étant le plus petit éléments on a forcément k>=a et b étant le deuxième plus petits on doit avoir aussi k>=b deux possibilités alors :
k=b ou k=a si k=b alors a=b=1 ; sinon b est un cube parfait.
Soit c le n-ième plus petits élément supposons par récurrence que tout les éléments sont des puissances impairs de a, alors :
c' le n+1-ème plus petits élément vérifie :
c'=c*k^(2) avec k forcément un des n éléments plus petits que c et on obtient que c' est aussi une puissance impairs de a.
En définitive ces ensembles sont ceux de la forme composé de puissance impairs d'un même élément.
Sauf erreur.