new-inegalite

x,y,z>=0 MQ:

Trés intéressante inégalité , voici
Ma solution : l'inégalité est équivalente a :

. remarquant ici que si l'ont diminue les quantité des variables par une constante t avec t=min(x,y,z) . on a clairement :
, avec
, puisque on a :
, il nous suffit de prouver que :
,
mais on choisissant t=x ( car puisque l'inégalité initial est cyclic on peut choisir x=min(x,y,z) ) on a bien x'=0 , par conséquand il suffit de prouver que :
ou t=y'\z' (si z'=0 l'inégalité est vrai) la dernière inégalité est vrai . pour la montrer on distingue 2 cas : clairement si t >=1 alors l'inégalité est clairement vrai . Maintenant si 0<t<1 posant t=1-a avec 0<1-a<1 => 0<a<1 la dernière 'inégalité est équivalent a :
. Fin de la démonstration . (PS: on peut aussi montrer la dernière inégalité en étudiant f(t) mais sa demande beaucoup trop calcule pour faire le tableau de variation ... )

on suppose x>=y>=z ==> x²>=y²>=z² et xy>=xz >=yz
==> x^3+y^3+z^3>=x²y+y²z+z²x par réordonnement
==> x^3+y^3+z^3+2(x²y+y²z+xz²)>=3(x²y+y²z+xz²)>=3(xy²+yz²+zx²)

Oty a écrit:

Trés intéressante inégalité , voici
Ma solution : l'inégalité est équivalente a :

. remarquant ici que si l'ont diminue les quantité des variables par une constante t avec t=min(x,y,z) . on a clairement :
, avec
, puisque on a :
, il nous suffit de prouver que :
,
mais on choisissant t=x ( car puisque l'inégalité initial est cyclic on peut choisir x=min(x,y,z) ) on a bien x'=0 , par conséquand il suffit de prouver que :
ou t=y'\z' (si z'=0 l'inégalité est vrai) la dernière inégalité est vrai . pour la montrer on distingue 2 cas : clairement si t >=1 alors l'inégalité est clairement vrai . Maintenant si 0<t<1 posant t=1-a avec 0<1-a<1 => 0<a<1 la dernière 'inégalité est équivalent a :
. Fin de la démonstration . (PS: on peut aussi montrer la dernière inégalité en étudiant f(t) mais sa demande beaucoup trop calcule pour faire le tableau de variation ... )

votre 1ere ligne est incorrecte il n'ya pas equivalence ''verifier'' !!!!

abdelbaki.attioui a écrit:

on suppose x>=y>=z ==> x²>=y²>=z² et xy>=xz >=yz
==> x^3+y^3+z^3>=x²y+y²z+z²x par réordonnement
==> x^3+y^3+z^3+2(x²y+y²z+xz²)>=3(x²y+y²z+xz²)>=3(xy²+yz²+zx²)

est ce qu'on a ici le droit de supposer x>=y>=z ?

younesmath2012 a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

on suppose x>=y>=z ==> x²>=y²>=z² et xy>=xz >=yz
==> x^3+y^3+z^3>=x²y+y²z+z²x par réordonnement
==> x^3+y^3+z^3+2(x²y+y²z+xz²)>=3(x²y+y²z+xz²)>=3(xy²+yz²+zx²)

est ce qu'on a ici le droit de supposer x>=y>=z ?

A priori non l'inégalité n'est pas symétrique. Alors ou bien revoir les autres cas ou bien trouver une autre preuve. En tous cas L'inégalité de réordonnement peut servir
A+

donc l'exercice a present n'est pas resolu !!!

Mr younes c 'est rectifier faute de frappe c x(x-y)(x+y) !!

Oty a écrit:

Trés intéressante inégalité , voici
Ma solution : l'inégalité est équivalente a :

. remarquant ici que si l'ont diminue les quantité des variables par une constante t avec t=min(x,y,z) . on a clairement :
, avec
, puisque on a :
, il nous suffit de prouver que :
,
mais on choisissant t=x ( car puisque l'inégalité initial est cyclic on peut choisir x=min(x,y,z) ) on a bien x'=0 , par conséquand il suffit de prouver que :
ou t=y'\z' (si z'=0 l'inégalité est vrai) la dernière inégalité est vrai . pour la montrer on distingue 2 cas : clairement si t >=1 alors l'inégalité est clairement vrai . Maintenant si 0<t<1 posant t=1-a avec 0<1-a<1 => 0<a<1 la dernière 'inégalité est équivalent a :
. Fin de la démonstration . (PS: on peut aussi montrer la dernière inégalité en étudiant f(t) mais sa demande beaucoup trop calcule pour faire le tableau de variation ... )

pourquoi '' on a clairement :
''

x'-y'=x-y et x(x+y) >= x'(x'+y')

ok!!!! good solution!!!

imta t3alamti hadchi? rah chwiya 9aseh ola la?!!!!!
tbarkellah 3lik.

x^3+y^3-xy²-x²y=(x-y)(x²-y²)=(x-y)²(x+y)>=0 ==> x^3+y^3>=xy²+x²y

y^3+z^3>=yz²+zy²
x^3+z^3>=xz²+x²z

2(x^3+y^3+z^3)>=(x²y+y²z+xz²)+(xy²+yz²+x²z)

==>
x^3+y^3+z^3+2(x²y+y²z+xz²)-3(xy²+yz²+zx²)
>=(x²y+y²z+xz²)/2+(xy²+yz²+x²z)/2 +2(x²y+y²z+xz²)-3(xy²+yz²+zx²)
=5(x²y+y²z+xz²)/2 -5(xy²+yz²+zx²)/2>=0

<==> (x²y+y²z+xz²)-(xy²+yz²+zx²)>=0
Je doute peut être avec Muirhead?

younesmath2012 a écrit:

imta t3alamti hadchi? rah chwiya 9aseh ola la?!!!!!
tbarkellah 3lik.

Merci beaucoup c'est ma propore methode , notre prof de maths ki goulina dima kbel mane n7awlou m3a chi probleme khessna nfekrou fe chno bghate mena , le terme (x-y)(y-z)(z-x) ki 3tina hade lfikra ... ou lkmala men fdal dial Allah .

abdelbaki.attioui a écrit:

x^3+y^3-xy²-x²y=(x-y)(x²-y²)=(x-y)²(x+y)>=0 ==> x^3+y^3>=xy²+x²y

y^3+z^3>=yz²+zy²
x^3+z^3>=xz²+x²z

2(x^3+y^3+z^3)>=(x²y+y²z+xz²)+(xy²+yz²+x²z)

==>
x^3+y^3+z^3+2(x²y+y²z+xz²)-3(xy²+yz²+zx²)
>=(x²y+y²z+xz²)/2+(xy²+yz²+x²z)/2 +2(x²y+y²z+xz²)-3(xy²+yz²+zx²)
=5(x²y+y²z+xz²)/2 -5(xy²+yz²+zx²)/2>=0

<==> (x²y+y²z+xz²)-(xy²+yz²+zx²)>=0
Je doute peut être avec Muirhead?

Mr Abdelbaki la derniere inégalité est encore cyclique

c'est quoi votre solution MR Younes ?

je vais la posterer plus tard car j'ai pas le temps d'ecrire
sa demarche est la suivante:on va poser (par exemple) x=min(x;y;z)
donc y=x+a et z=x+b avec a,b>=0 ........etc

Oty a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

x^3+y^3-xy²-x²y=(x-y)(x²-y²)=(x-y)²(x+y)>=0 ==> x^3+y^3>=xy²+x²y

y^3+z^3>=yz²+zy²
x^3+z^3>=xz²+x²z

2(x^3+y^3+z^3)>=(x²y+y²z+xz²)+(xy²+yz²+x²z)

==>
x^3+y^3+z^3+2(x²y+y²z+xz²)-3(xy²+yz²+zx²)
>=(x²y+y²z+xz²)/2+(xy²+yz²+x²z)/2 +2(x²y+y²z+xz²)-3(xy²+yz²+zx²)
=5(x²y+y²z+xz²)/2 -5(xy²+yz²+zx²)/2>=0

<==> (x²y+y²z+xz²)-(xy²+yz²+zx²)>=0
Je doute peut être avec Muirhead?

Mr Abdelbaki la derniere inégalité est encore cyclique

f(x,y,z)=(x²y+y²z+xz²)-(xy²+yz²+zx²)
f(y,x,z)=(y²x+x²z+yz²)-(yx²+xz²+zy²)#f(x,y,z)

x²y+y²z+xz² - xy²-yz²-zx²= - (x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(x-z) , comme l'inégalité initial est cyclic on peut assumé z=min(x,y,z) alors la derniere inégalité a laquelle vous avez aboutis n'est vrai que si x>=y , il vous faut traiter le cas de x<y aussi pour pouvoir conclure .

Est ce quelqu'un peut m'expliquer comment on peut facilement deduire que x'=0 ?

aymas a écrit:

Est ce quelqu'un peut m'expliquer comment on peut facilement deduire que x'=0 ?

car l'inégalité initial est cyclic ainsi on peut choisir x ou y ou z = min(x,y,z) car une fois c'est trois variable fixé il y aura une inférieur ou égale au deux autre , et comme on a diminuer la quantité des variable par leur minimum lui même alors t=x ou t=y ou t=z d'ou l'une des variables x' , y' ,z' s'annule en guise de notre choix du minimum .