Inégalité (2)

soit a,b,c >=0 tel que : a+b+c=3
Montrer que :

slt oty pour cette méthode je né po utilisé a+b+c=3


on c² >=c car (a,b,c)>=0 donc c²-c>=0 et c²-c+1>=1 même on a b²-b+1>=1 et a²-a+1>=1

( c²-c+1)(b²-b+1)(a²-a+1 ) >=1

non malheuresement c 'est faux , par exemple le couple a=0 ,b= 1\2 c=5\2 verife la condition mais a et b < 1 seulemnt le plus grand nombre par exemple c= max(a,b,c) sera > 1 les autres pas forcément ,
c² >= c est vrai seulment si c >=1 car c >=0

ah oui jé po fé attention je vé réessayer

on pose x=1-a , y=1-b et z=1-c ==> x+y+z=0 et -2=<x,y,z =<1
si x,y,z sont de même signe ==> x=y=z=0
sinon on peut se ramener grâce à la symétrie des rôles à -2=< x=<0 =<y=<z=<1
car (a²-a+1)(b²-b+1)(c²-c+1)=(x² -x+1)(y² -y+1)(z² -z+1)

(x² -x+1)(y² -y+1)(z²- z+1)
=(x²-x)(y²-y)(z²-z)+(x²-x)(y²-y)+(y²-y)(z²-z)+(x²-x)(z²-z)+(x²-x)+(y²-y)+(z²-z)+1
=(x²-x)(y²-y)(z²-z)+(x²-x)(y²-y)+(y²-y)(z²-z)+(x²-x)(z²-z)+x²+y²+z²+1
>=1+ (x²-x)(y²-y)+(y²-y)(z²-z)+(x²-x)(z²-z) car (x²-x)(y²-y)(z²-z)=yz(x²-x)(1-y)(1-z)>=0
>=1

SMEH LIYA (x²-x)(y²-y)(z²-z)=xyz(x-1)(1-y)(1-z)<=0!!!!

Mr Abdelbaki , la symétrie ne permet pas de négligé un cas , mais seulement de choisir les variables aux qu'elles vous donnez un signe
dans le cas ou -2=< y,z =<0 et 0=<x=< 1 votre solution est fausse car
(x²-x)(y²-y)(z²-z) = x (x-1) (y²-y)(z²-z) =< 0

younesmath2012 a écrit:

SMEH LIYA (x²-x)(y²-y)(z²-z)=xyz(x-1)(1-y)(1-z)<=0!!!!

Non , c'est juste dans le cas qu'il traite x est négatif donc : x²-x >=0
et comme y et z sont < 0 alors : yz >=0 et (1-y) >=0 et (1-z)>=0 , mais dans l'autre cas cette assertion est fausse

bonsoir
voici ma solution
on doit poser a=x-1 et b=y-1et c=z-1
(a,b,c)>=0 ce qui donnera que x>=1 et y>=1 z>=1

(c²-c+1)(b²-b+1)(a²-a+1 ) = (x²-3x+3)(y²-3y+3)(z²-3z+3)
x>=1
x²-3x+3>=1 et y²-3y+3>=1 et z²-3z+3>=1
donc
(x²-3x+3)(y²-3y+3)(z²-3z+3)>=1
et
(c²-c+1)(b²-b+1)(a²-a+1 )>=1

MatHindest a écrit:

bonsoir
voici ma solution
on doit poser a=x-1 et b=y-1et c=z-1
(a,b,c)>=0 ce qui donnera que x>=1 et y>=1 z>=1

(c²-c+1)(b²-b+1)(a²-a+1 ) = (x²-3x+3)(y²-3y+3)(z²-3z+3)
x>=1
x²-3x+3>=1 et y²-3y+3>=1 et z²-3z+3>=1
donc
(x²-3x+3)(y²-3y+3)(z²-3z+3)>=1
et
(c²-c+1)(b²-b+1)(a²-a+1 )>=1

ce qui est rouge est faux , x²-3x+2 >=0 equivalent a (x-1)(x-2) >=0 , x peut etre inferieur a 2 .

mais en remplaçant ça donnera
(x-1)² - (x-1) +1 = x²-2x+1 -x+1 +1 = x²-3x+3
x²-3x+3= x(x-3) +3 donc
x>=1 et x-3>=-2 donc x(x-3)>=-2 et enfin x(x-3) +3 >=1

le x-3 peut etre négatif . le trinome (x²-3x+3)-1 = x²-3x+2 peut etre négatif , c'est pour cela que ton assertion est fausse .
par exemple pour x=1,5 , on 1,5 >=1 et x-3=-1,5 >= -2 tu ne peux pas multiplier c'est deux inégalité sans changé le signe

desolé mr oty mais je crois que la condition devient x+y+z=6
et pour le x-3 >=-2 donc peut être négatif mais avec une condition

alors où est le probléme ??!!!!!!!!!!!!!

x+y+z=6 soit z=min(x,y,z) alors z=< 2 (j'ai edité mon post merci de lire ) .

d'accord
mais si on pose x=1-a , y=1-b et z=1-c


(x² -x+1)(y² -y+1)(z²- z+1)=(c²-c+1)(b²-b+1)(a²-a+1 )
a>=0 et 1-x>=0 x<=1
donc a²-a+1>=1 et de même pour y ;z

MatHindest a écrit:

d'accord
mais si on pose x=1-a , y=1-b et z=1-c


(x² -x+1)(y² -y+1)(z²- z+1)=(c²-c+1)(b²-b+1)(a²-a+1 )
a>=0 et 1-x>=0 x<=1
donc a²-a+1>=1 et de même pour y ;z

c'est faux , x²-x=x(x-1) < 0 car il existera au moin une variable dans [0,1]
a mon avis je crois que tu pense que en fesant la substution te permet de resoudre le probleme faciement
ce n'est pas tjrs le cas .

on pose x=1-a , y=1-b et z=1-c ==> x+y+z=0
on peut supposer que x=<y=<z ==> -2=< x=<0=<z=<1

(a²-a+1)(b²-b+1)(c²-c+1)=(x² -x+1)(y² -y+1)(z² -z+1)

(x² -x+1)(y² -y+1)
=(x² -x+1)(x²+z²+2xz+x+z+1)
=x^4+x²z²+2x^3z+x^3+x²z+x²-x^3-xz²-2x²z-x²-xz-x+x²+z²+2xz+x+z+1
=x^4+2x^3z+x²z²-x²z-xz²+xz+x²+z²+z+1
=(x²+zx-z/2)²+(V(3)z/2+x/V(3))²+2x²/3+z+1 >=z+1

==> (x² -x+1)(y² -y+1)(z²-z+1)>=(z²-z+1)(z+1)=z^9+1>=1

abdelbaki.attioui a écrit:

on pose x=1-a , y=1-b et z=1-c ==> x+y+z=0
on peut supposer que x=<y=<z ==> -2=< x=<0=<z=<1

(a²-a+1)(b²-b+1)(c²-c+1)=(x² -x+1)(y² -y+1)(z² -z+1)

(x² -x+1)(y² -y+1)
=(x² -x+1)(x²+z²+2xz+x+z+1)
=x^4+x²z²+2x^3z+x^3+x²z+x²-x^3-xz²-2x²z-x²-xz-x+x²+z²+2xz+x+z+1
=x^4+2x^3z+x²z²-x²z-xz²+xz+x²+z²+z+1
=(x²+zx-z/2)²+(V(3)z/2+x/V(3))²+2x²/3+z+1 >=z+1

==> (x² -x+1)(y² -y+1)(z²-z+1)>=z²-z+1>=1

je n'arrive pas a bien a lire ta solution Mr. Abdelbaki mais la fin est fausse , z²-z=z(z-1) =< 0

Oty a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

on pose x=1-a , y=1-b et z=1-c ==> x+y+z=0
on peut supposer que x=<y=<z ==> -2=< x=<0=<z=<1

(a²-a+1)(b²-b+1)(c²-c+1)=(x² -x+1)(y² -y+1)(z² -z+1)

(x² -x+1)(y² -y+1)
=(x² -x+1)(x²+z²+2xz+x+z+1)
=x^4+x²z²+2x^3z+x^3+x²z+x²-x^3-xz²-2x²z-x²-xz-x+x²+z²+2xz+x+z+1
=x^4+2x^3z+x²z²-x²z-xz²+xz+x²+z²+z+1
=(x²+zx-z/2)²+(V(3)z/2+x/V(3))²+2x²/3+z+1

==> (x² -x+1)(y² -y+1)(z²-z+1)>=z²-z+1>=1

je n'arrive pas a bien a lire ta solution Mr. Abdelbaki mais la fin est fausse , z²-z=z(z-1) =< 0

Bien vu . J'ai corrigé
(x² -x+1)(y² -y+1)=(x²+zx-z/2)²+(V(3)z/2+x/V(3))²+2x²/3+z+1>=z+1
(x² -x+1)(y² -y+1)(z²-z+1)>=(z²-z+1)(z+1)=z^3+1>=1

Bon cet exercice peu être peu être facilement résolu par une séparation symétrique en considérant la fonction f(x)=ln(x^2+x+1)-x+1
Je posterai ma solution ultérieurement!!!

on pose x=1-a , y=1-b et z=1-c ==> x+y+z=0
on peut supposer que x=<y=<z ==> -2=< x=<0=<z=<1

(a²-a+1)(b²-b+1)(c²-c+1)=(x² -x+1)(y² -y+1)(z² -z+1)