Inégalité (3)

nmo a écrit:

Oty a écrit:

soit a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 , Prouver que :
.

J'ai voulu rédiger cette solution vers midi, mais l'ordinateur s'est redémarré inopinément!
Le même sort il y a quelques minutes...
Mais, vu que personne n'a fait ce que j'ai en tête, je le partage encore une fois:
Je distingue deux cas:
*Si l'une des variables est nulle:
On suppose par symétrie qu'on a c=0, la contrainte se réduit à ab=3, et on doit démontrer que .
Cette inégalité équivaut à .
Ce qui est trivialement vrai d'après l'inégalité arithmético-géométrique.
*Si aucune des variables n'est nulle:
On pose premièrement: , et .
Donc , et .
La contrainte devient .
Et l'inégalité, quant à elle, devient: .
On songe à l'inégalité de Jensen.
On considère la fonction f définie par: .
La fonction f est dérivable sur l'ensemble des réels, et sa fonction dérivée: .
La fonction f' est dérivable sur l'ensemble des réels, et on a: .
Puisque f'' est positive ou nulle, on déduit que f est une fonction convexe. On peut donc appliquer l'inégalité de Jensen: .
Soit . ==>(1)
D'un autre côté, on a selon l'inégalité arithmético-géométrique: .
Ce qui veut bien dire que .
Une simple manipulation nous emmène vers . ==>(2)
De 1 et 2, on conclut que .
*Les cas d'égalité:
On déduit que notre inégalité devient une égalité si et seulement si:
_Tous les variables valent 1 (Le second cas).
_Une variable est nulle et les deux autres valent .
CQFD.
Sauf erreurs.

salut vous avez ecrit La fonction f' est dérivable sur l'ensemble des réels, et on a: .
Puisque f'' est positive ou nulle, on déduit que f est une fonction convexe.
ce qui est totalement faux car

donc votre reponse est fausse Mr "nmo" mais elle reste belle ideé!!!

younesmath2012 a écrit:

nmo a écrit:

Oty a écrit:

soit a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 , Prouver que :
.

J'ai voulu rédiger cette solution vers midi, mais l'ordinateur s'est redémarré inopinément!
Le même sort il y a quelques minutes...
Mais, vu que personne n'a fait ce que j'ai en tête, je le partage encore une fois:
Je distingue deux cas:
*Si l'une des variables est nulle:
On suppose par symétrie qu'on a c=0, la contrainte se réduit à ab=3, et on doit démontrer que .
Cette inégalité équivaut à .
Ce qui est trivialement vrai d'après l'inégalité arithmético-géométrique.
*Si aucune des variables n'est nulle:
On pose premièrement: , et .
Donc , et .
La contrainte devient .
Et l'inégalité, quant à elle, devient: .
On songe à l'inégalité de Jensen.
On considère la fonction f définie par: .
La fonction f est dérivable sur l'ensemble des réels, et sa fonction dérivée: .
La fonction f' est dérivable sur l'ensemble des réels, et on a: .
Puisque f'' est positive ou nulle, on déduit que f est une fonction convexe. On peut donc appliquer l'inégalité de Jensen: .
Soit . ==>(1)
D'un autre côté, on a selon l'inégalité arithmético-géométrique: .
Ce qui veut bien dire que .
Une simple manipulation nous emmène vers . ==>(2)
De 1 et 2, on conclut que .
*Les cas d'égalité:
On déduit que notre inégalité devient une égalité si et seulement si:
_Tous les variables valent 1 (Le second cas).
_Une variable est nulle et les deux autres valent .
CQFD.
Sauf erreurs.

salut vous avez ecrit La fonction f' est dérivable sur l'ensemble des réels, et on a: .
Puisque f'' est positive ou nulle, on déduit que f est une fonction convexe.
ce qui est totalement faux car
donc votre reponse est fausse Mr "nmo" mais elle reste belle ideé!!!

J'ai vérifié avec wolfram alpha! Et tu avais raison,
Ma solution est déjà dite fausse...