Inégalité (3)

soit a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 , Prouver que :
.

est ce que c'est ab+ac+bc=3 ou ab+bc=ac=3

car le deusieme cas l'exo n'est pas difficile puisque on peut calculer a et b en fonction de c et on réduit l'expression a un polynome

c'est edité

bon ma solution est

\sum 1\1+a² >= \sum 1\(1+ab) c'est faux , ton leme est juste seulement si ab >=1

b=1/(2a) ==> 2/(ab+1)=4/3 > 1

1/(1+a²)+4a²/(1+4a²) -----> 1 quand a ----> 0+

abdelbaki.attioui a écrit:

b=1/(2a) ==> 2/(ab+1)=4/3 > 1

1/(1+a²)+4a²/(1+4a²) -----> 1 quand a ----> 0+

pouvez vous expliquer votre remarque ? merci .

peut tu explique d'avantage Oty

tu as ecris : \sum 1\(a²+1) >= \sum 1\(1+ab) , comme
1\(a²+1) + 1\(b²+1) >= 2\(1+ab) est equivalente a : (a-b)² (ab-1) >= 0 ainsi cette inégalité est vrait seulement si ab >=1 , mais bc ou ca peuvent etre inferieur a 1 donc cette inégalité n'est pas applicable au autre termes

Oty a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

b=1/(2a) ==> 2/(ab+1)=4/3 > 1

1/(1+a²)+4a²/(1+4a²) -----> 1 quand a ----> 0+

pouvez vous expliquer votre remarque ? merci .

Juste un contre exemple : 1/(1+a²+1/(1+b²)<2/(ab+1) pour ab=1/2 et a assez petit

J'espère pas d'erreur

a, b, c>=0 et ab+ac+bc=3

1/(1+a²)+1/(1+b²)+1/(1+c²)>=3/2
<==> 2 ((1+b²)(1+c²)+(1+a²)(1+c²)(1+b²)(1+a²))>=3(1+a²)(1+b²)(1+c²)
<==> 2 (3+ 2(a²+b²+c²)+ a²b²+a²c²+b²c²)>=3( a²b²c²+ a²b²+a²c²+b²c²+a²+b+²c²+1)
<==> (a²+b²+c²)-(a²b²+a²c²+b²c²)-3 a²b²c²+3>=0
on suppose abc#0
si par exemple c=0 ==> ab=3 ==> 3+(a²+b²+c²)-(a²b²+a²c²+b²c²)-3 a²b²c²= a²+9/a²-6 =(a-3/a)²>=0.
Comme ab+bc+ac==3 ==> l'un des termes ab , bc et ac =<1 on suppose ab=<1 alors

(a²+b²+c²)-(a²b²+a²c²+b²c²)-3 a²b²c²+3>=0
<==> a²+b²-a²b² + (1-a²-b²-3a²b²) a²b² / (a+b)² +3>=0
<==> (a²+b²-a²b²)(a+b)² + a²b² (1-a²-b²-3a²b²) +3(a+b)²>=0
<==> (a²+b²-2a²b²+3)(a+b)² + a²b² (1+2ab-3a²b²) >=0

ce qui est vrai car
a²+b²-2a²b²+3>= 2ab-2a²b²+3=2ab( 1-ab)+3>=0
et 1+2ab-3a²b²=3ab(1-ab)>=0

Mr Abdelbaki , vous pouvez ecrire cette partie en latex :

a²+b²-a²b² + (1-a²-b²-3a²b²) a²b² / (a+b)² +3>=0
<==> (a²+b²-a²b²)(a+b)² + a²b² (1-a²-b²-3a²b²) +3(a+b)²>=0
<==> (a²+b²-2a²b²+3)(a+b)² + a²b² (1+2ab-3a²b²) >=0

je n'arrive pas a bien vous suivre sur ce point , merci .

Oty a écrit:

soit a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 , Prouver que :
.

On a: , donc on peut faire la substitution: tel que A, B et C sont les angles d'un triangle ABC.
Et on a l'identité suivante: .
Ainsi l'inégalité devient:
On remplace x, y et z par 1/x, 1/y et 1/z. Et il suffit montrer que:







Et on a: , donc il suffit montrer que: .
Et d'après Schur: , alors il suffit démontrer que:
ce qui est clairement vrai... CQFD.

PS: Dans ma démo, j'ai considéré que les variables sont non-nuls , si l'un d'eux est égal à 0, l'inégalité se réduit à une avec un variable, ce qui est facilement démontrable.

BRAVO : Ali et Mr Abdelbaki .

Merci Oty !

Oty a écrit:

soit a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 , Prouver que :
.

J'ai voulu rédiger cette solution vers midi, mais l'ordinateur s'est redémarré inopinément!
Le même sort il y a quelques minutes...
Mais, vu que personne n'a fait ce que j'ai en tête, je le partage encore une fois:
Je distingue deux cas:
*Si l'une des variables est nulle:
On suppose par symétrie qu'on a c=0, la contrainte se réduit à ab=3, et on doit démontrer que .
Cette inégalité équivaut à .
Ce qui est trivialement vrai d'après l'inégalité arithmético-géométrique.
*Si aucune des variables n'est nulle:
On pose premièrement: , et .
Donc , et .
La contrainte devient .
Et l'inégalité, quant à elle, devient: .
On songe à l'inégalité de Jensen.
On considère la fonction f définie par: .
La fonction f est dérivable sur l'ensemble des réels, et sa fonction dérivée: .
La fonction f' est dérivable sur l'ensemble des réels, et on a: .
Puisque f'' est positive ou nulle, on déduit que f est une fonction convexe. On peut donc appliquer l'inégalité de Jensen: .
Soit . ==>(1)
D'un autre côté, on a selon l'inégalité arithmético-géométrique: .
Ce qui veut bien dire que .
Une simple manipulation nous emmène vers . ==>(2)
De 1 et 2, on conclut que .
*Les cas d'égalité:
On déduit que notre inégalité devient une égalité si et seulement si:
_Tous les variables valent 1 (Le second cas).
_Une variable est nulle et les deux autres valent .
CQFD.
Sauf erreurs.

@nmo jje n'arrive a voir que 4 formul de latex

Oty a écrit:

@nmo jje n'arrive a voir que 4 formul de latex

Je penses que c'est bon maintenant!
Toutes les formules apparaissent!

BRAVO : nmo .
Mr Abdelbaki j'ai vérifier votre solution Bravo comme deja dit

une autre solution que j'ai trouvé :
l'un de ab et bc , ac est >= 1
donc on note 3 > x = ab >= 1( si ab = 3 donc c = 0 ce qui claire ...)
on utilisons la lemme : 1/(a²+1) + 1/(b²+1) >= 2/(x+1)
et on utilise aussi : x + c(a+b) = 3 donc
3 >= x+2sqrt(x)c donc c <= (3-x)(2sqrt(x))
et fainalement : 1/(c²+1) >= 4x/((3-x)² + 4x)
il suffit de montrer que : 2/(x+1) + 4x/((3-x)² + 4x) >= 1.5
ce qui est vrai parce que 3>x>=1

derniere ineq equiv. a :

Bravp khay az360