Topic des concours:

Bonjour tout le monde,
Il va de soi que pour décrocher une bonne école,une bonne préparation s'impose.C'est dans cet esprit que j'ai pensé qu'on pourrait organiser un Topic pour traiter et les sujet d'oraux et les sujets d'écrit des concours.Je prie maintenant les intéressés de se manifester afin d'organiser et de commencer le topic.

Etant donné qu'au moins un participant s'est manifeste ,nous pouvons commencer,mais en douceur avec cet oral de l'X qui est un peu un classique:
Montrer que l'ensemble P des nombres premiers est infini.montrer qu'il en est de meme pour les nombres premiers congrus à 3 modulo 4

Solution:
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On raisonne par l'absurde.
Supposons que l'ensemble P des premiers est fini avec P={P_1;P_2;...;P_n}.
Posons N=p_1.P_2....P_n+1
alors N n'admet aucun diviseur appartenant à P ce qui implique que N est premier.
D'où la contradiction puisque N n'appartient pas à P.
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Raisonnons encore par l'absurde:
Supposons que l'ensemble P des nombres premiers de forme 4k +3 est fini .
on pose P={P_1;P_2;..P_n} et N= 4 P_1.P_2...P_n-1=4(P_1.P_2...P_n-1)+3
N n'admet aucun diviseur premier appartenant à P
Alors soit N est premier soit il admet des diviseurs premiers de forme 4k+1.
Si N est premier alors c'est absurde puisque N n'appartient pas à P.
Si N admet des diviseurs premiers de forme 4k+1 alors lui aussi est de forme 4k+1 car (4k+1)(4z+1)=4(4kz+k+z)+1 ce qui est aussi absurde.

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Soit n un entier naturel non nul et E_n l’équation : x^n. ln x = 1 d’inconnue x € R+*.
a) Montrer que l’équation E_n admet une unique solution x_n, et que x_n >= 1.
b) Montrer que la suite (x_n) est décroissante et converge vers 1.

1/on pose fn(x)=x^n.ln(x)-1 et on applique TVI.
2/pour décroissante encore tvi, et pour la limite 1, on sait que Un converge et admet une limite l sup ou égale à 1. on suppose que l et sup strict à 1 on a alors limite de fn(x_n) différente de 1, contradiction car elle est constante en 1 donc l=1.

amnay a écrit:

1/on pose fn(x)=x^n.ln(x)-1 et on applique TVI.
2/pour décroissante encore tvi, et pour la limite 1, on sait que Un converge et admet une limite l sup ou égale à 1. on suppose que l et sup strict à 1 on a alors limite de fn(x_n) différente de 1, contradiction car elle est constante en 1 donc l=1.

euuuh ??!

expert_run a écrit:

Soit n un entier naturel non nul et E_n l’équation : x^n. ln x = 1 d’inconnue x € R+*.
a) Montrer que l’équation E_n admet une unique solution x_n, et que x_n >= 1.
b) Montrer que la suite (x_n) est décroissante et converge vers 1.

Je crois que ce problème est classique, voici une solution:
Soit n un entier naturel non nul.
On définit la fonction réelle par: .
a) La fonction est dérivable (et continue par conséquent) sur et on a .
L'équation conduit à (car x est différent de 0) ou à ou bien à .
On déduit que , donc est strictement décroissante sur ][ et a fortiori sur ][.
On sait de plus que et , donc l'équation admet une solution sur l'intervalle ][.
Cette solution est unique car la fonction est bijective sur ][ (elle est continue et strictement décroissante sur cet intervalle).
On sait de plus que , ce qui conduit à car est décroissante.
b) On a , donc .
Et par suite en vertu de la dernière remarque.
Or, on sait que donc (l'équation admet une soltion unique qui satisfait ).
Et puisque la fonction est strictement décroissante, on aura .
La suite est ainsi décroissante.
Et puisqu'elle est minorée par 1, elle est convergente.
On appelle maintenant l la limite de notre suite, et calculons-la.
On sait que et ce qui implique .
En passant aux limites (en tendant n vers +l'infini) cela s'écrit: .
Cette équation admet comme solution ou .
Le cas est exclus, par suite la suite converge vers 1.
Sauf erreurs.

nmo a écrit:

expert_run a écrit:

Soit n un entier naturel non nul et E_n l’équation : x^n. ln x = 1 d’inconnue x € R+*.
a) Montrer que l’équation E_n admet une unique solution x_n, et que x_n >= 1.
b) Montrer que la suite (x_n) est décroissante et converge vers 1.

Je crois que ce problème est classique, voici une solution:
Soit n un entier naturel non nul.
On définit la fonction réelle par: .
a) La fonction est dérivable (et continue par conséquent) sur et on a .
L'équation conduit à (car x est différent de 0) ou à ou bien à .
On déduit que , donc est strictement décroissante sur ][ et a fortiori sur ][.
On sait de plus que et , donc l'équation admet une solution sur l'intervalle ][.
Cette solution est unique car la fonction est bijective sur ][ (elle est continue et strictement décroissante sur cet intervalle).
On sait de plus que , ce qui conduit à car est décroissante.
b) On a , donc .
Et par suite en vertu de la dernière remarque.
Or, on sait que donc (l'équation admet une soltion unique qui satisfait ).
Et puisque la fonction est strictement décroissante, on aura .
La suite est ainsi décroissante.
Et puisqu'elle est minorée par 1, elle est convergente.
On appelle maintenant l la limite de notre suite, et calculons-la.
On sait que et ce qui implique .
En passant aux limites (en tendant n vers +l'infini) cela s'écrit: .
Cette équation admet comme solution ou .
Le cas est exclus, par suite la suite converge vers 1.
Sauf erreurs.

ça me parrait juste ,à toi nmo de proposer un problème.

Vu que personne ne propose rien,je vous propose le problème suivant,tiré encore une fois d'un orale de l'X:
montrer que pour tout (m,n)£N²: ((2n!)*(2m!))/(m!*n!*((m+n)!))£N

Bonsoir,
je propose un nouveau problème ,beaucoup plus évident cette fois ci ,avec l'espoir qu'il y aura plus de participation:
Montrer l'existence et l'unicité des suites et telles que :

et montrer que:

les images de ton dernier exo ne sont pas visibles, voila la solution de l'ex qui est avant :

soit m et n de IN

on pose k =m+n

oral X:

Soit E un ensemble. Montrer que E est infini si, et seulement si, pour toute fonction f:E→E, il existe A⊂E avec A≠∅ et A≠E telle que f(A)⊂A.

ok je veux participer avec vous

W.Elluizi a écrit:

Vu que personne ne propose rien,je vous propose le problème suivant,tiré encore une fois d'un orale de l'X:
montrer que pour tout (m,n)£N²: ((2n!)*(2m!))/(m!*n!*((m+n)!))£N

Cet exercice se résout facilement avec la formule de Legendre en montrant l'inégalité classique E(2m)+E(2n)>=E(m)+E(n)+E(m+n)