racines n-éme

Bonjour a vous , est ce que quelqu'un peut m'aider a fair mon devoir libre car je bloque l'enoncé est "On considere l'ensemble Um={exp(2ikpi/m) avec K appartien [0,m-1]} on rappelle que c'est aussi l'ensemble des racines m-iémes complexes de l'unité c'est a dire l'ensemble des nombres complexes z verifiant z "puissance" m =1. ON se donne un entier strictement positif n et on cherche s'il existe une fonction f: de "U2n vers U2n" vérifiant f(f(z)=z² pour tout z dans U2n. 1°) Montrer que l'ensemble {z²/z appartien a U2n} est egal a Un et qu il est inclus dans U2n. 2°) on suppose qu'il existe une solution f au prbleme consideré.(a) verifier que f(z²)=(f(z))² pour tout z dans U2n.(b) MONTRER que f(z)=f(z') implique z=+ ou - z' et que f(1)=f(-1)=1 " voila si quelqu'un peux m'aider car je suis bloquer . MERCI

1°) Montrer que l'ensemble {z²/z appartien a U2n} est egal a Un et qu il est inclus dans U2n.

{z²/z appartien a U2n}
={exp(2ikpi/n) avec k appartient [0,2n-1]}
={exp(2ikpi/n) avec k appartient [0,n-1]}U{exp(2ikpi/n) avec k appartient [n,2n-1]}
=Un
car {exp(2ikpi/n) avec k appartient [0,n-1]}={exp(2ikpi/n) avec k appartient [n,2n-1]}=Un

pour k appartient [0,n-1], 2k appartient [0,2n-1] et exp(2ikpi/n)=exp(4ikpi/2n) alors Un cU2n

2°) on suppose qu'il existe une solution f au problème considéré

(a) verifier que f(z²)=(f(z))² pour tout z dans U2n

soit z dans U2n, f(f(z))=z²==> f(z²)=f(f(f(z)))=(f(z))² car f(z) dans U2n

(b) MONTRER que f(z)=f(z') implique z=+ ou - z' et que f(1)=f(-1)=1

f(z)=f(z') ==> f(f(z))=f(f(z')) ===> z²=z'²==>z=+ ou - z'

f(1)=(f(1))² ===> f(1)=0 ou 1 mais 0 n`est pas dans U2n ==> f(1)=1

f(1)=(f(-1))² =1 ==> f(-1)=-1 ou 1 mais f(f(-1))=1 alors f(-1)=1