- l'intellectuelle a écrit:
- soit f est une fonction contunie sur [0;1] tel que f([0;1]C[0;1]
montrez que f admet une point fixe
PS: C : veut dire inclus "dimn"
Salut !!
Selon tes hypothèses , on a :
0<=f(x)<=1 pour tout x dans [0;1]
En particulier 0<=f(0) et f(1)<=1
Si f(0)=0 ou f(1)=1 alors le problème sera réglé puisqu'alors 0 serait point fixe de f dans la première éventualité ou bien ce serait 1 qui le serait ...
Supposons donc que 0<f(0) et f(1)<1
Alors , considérons l'application g suivante :
g : x ------> g(x)=f(x)-x définie sur [0;1] à valeurs dans IR .
g est continue sur [0;1] parceque f l'est aussi ...
de plus g(0).g(1)={f(0)-0}.{f(1)-1} < 0
D'après le TVI alors g devra s'annuler au moins en un point c de ]0;1[ et ce point c est alors POINT FIXE de f .
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