suites adjacentes

on pose pour n entier
u_n=(1+1/n)^(n+1)
v_n=(1+1/n)^n
Montrer que ces suites sont adjacentes
Montrer que la limite commune est irrationnelle

bon alors
il est evident que Vn<Un
il suffit de prouver que Un decroit et Vn decroit
pour cela on etudie la fonction x->(x+1)*ln((x+1)/x)
cette fonction est decroissante strictement
donc ca marche Un decroit strictement et vn croit strictement
Un decroit minoree V1
Vn croit majore par U1
on introuduit la fonction ln la limite c e
reste a prouver que e est irrationelle
suppusons que e appartient a Q donc on vient que pour tout n dans N
Vn<e<Un
il existe p,q dans Z*N tel Vn<p/q<Un
pour que cela soit soit verifier il faut que pour tout n dans N
que q(Un-Vn)>1 soit q>n^(n+1)/(n+1)^n=wn
wn tend vers linfini donc il existe un n0 tel que wn0>q d'ou la contradiction donc on vient de prouver que e n'appartient pas a Q