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Sujet: a+b+c>=abc (facile) Lun 29 Oct 2012, 14:50
a,b,c > 0 tq
montrer que
Humber Expert grade2
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Sujet: Re: a+b+c>=abc (facile) Lun 29 Oct 2012, 15:04
galois einstein Maître
Nombre de messages : 77 Age : 29 Date d'inscription : 08/05/2012
Sujet: Re: a+b+c>=abc (facile) Lun 29 Oct 2012, 15:24
on a: (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) =< 3(a²+b²+c²) (d'après réordonnement) donc (abc)² =< 3(a²+b²+c²) ce qui donne, (abc)²/3 =< a²+b²+c² donc, et pour que l'inégalité à démontrer soit vraie, il suffit qu'on eus: sqrt(3)abc =< (abc)²/3 ce qui est équivalent à abc >= 3 sqrt(3) ce qui est vrai en faisant recours à AM-GM, et en revenant à: a+b+c >= abc
Humber Expert grade2
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Sujet: Re: a+b+c>=abc (facile) Lun 29 Oct 2012, 15:38
galois einstein a écrit:
on a: (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) =< 3(a²+b²+c²) (d'après réordonnement) donc (abc)² =< 3(a²+b²+c²) ce qui donne, (abc)²/3 =< a²+b²+c² donc, et pour que l'inégalité à démontrer soit vraie, il suffit qu'on eus: sqrt(3)abc =< (abc)²/3 ce qui est équivalent à abc >= 3 sqrt(3) ce qui est vrai en faisant recours à AM-GM, et en revenant à: a+b+c >= abc
Pour ce qui est en rouge : Prend a=b=c=1
younesmath2012 Expert sup
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Sujet: Re: a+b+c>=abc (facile) Lun 29 Oct 2012, 16:23
Humber a écrit:
Bravo Mr "Humber" simple et courte et jolie solution diyale lmohtarifine !!! tbarkellah 3lik!!!
Humber Expert grade2
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Sujet: Re: a+b+c>=abc (facile) Lun 29 Oct 2012, 16:27
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