help densite !!

besoin d'aide sur cette question svp !!

on se donne une fonction f continue sur R et l'on suppose l'existence d'une suite (Pn)n de fonctions polynomes telle que pr tt t de R

dn=suplf(t )-Pn(t)l---->0 qd n tends vers +infini .

-Prouver que pour p et q assez grands ,les polynomes Pp et Pq different par une constante

- en deduire que f est un polynome.Qu'en pensez- vous?

Je prends les normes infinies.

Pour epsilon = 1/2, on peut dire qu'il existe un N entier tel que pour n > N, ||P_n-f|| < 1/2

Alors ||Pp - Pq|| = ||Pp-f+f-Pq|| < ||Pp-f||+||Pq-f|| < 1/2 + 1/2 = 1 pour p et q assez grand.

Donc ||Pp-Pq|| < 1

Or seules les fonctions polynomiales constantes sont bornée sur R donc on en déduit que Pp(t)-Pq(t) = a_(p,q) où a_(p,q) dans R
D'où le résultat.

En généralisant, on a aussi P_n(t)-PN(t) = a_n pour n > N
D'où P_n(0)-PN(0)=a_n et donc en prenant la limite en l'infini, on obtient :

f(0)-PN(0)=a_(+oo) et on conclut avec l'unicité de la limite pour écrire que : f(t)=PN(t)+a_(+oo)