Densité de Schnirelmann , densité d'une partie .

1 - Densité de Schnirelmann :
Définitions et notations :
On appelle densité de Schnirelmann d'une partie A de IN et on note S(A) le réel :
S(A) = inf { Card(A inter [1,n] )/n , n £ IN * }
Questions :
Calculer S(A) pour :
a) A un ensemble fini .
b) A l'ensemble des entiers impairs.
c) A={n^k / n £ IN } k fixé supérieur à 2.
2 - Densité d'une partie :
Définitions et notations :

On appelle densité d'une partie A de IN et on note d(A) le réel :
d(A) = lim Card(A inter [1,n] )/n (n tend vers l'infini)
Questions :
a) Reprendre les questions de la partie précédente.
b) Calculer la densité de l'ensemble des entiers dont l'écriture décimale de comporte aucun 9.
On peut montrer ce résultat difficile : d(P)=0 , P ensemble des nmbres premiers. (Si vous désirez que je poste les étapes de la démonstration signalez le moi )

3 - Application : Une " réciproque " du théorème de Césaro . (difficile)
a) Mq la réciproque du théorème de Césaro est fausse.
b)Soit (a n) une suite de nombres réels positive et majorée .
Mq (i) équivaut (ii) avec :
(i) S n =(a_1 + ...+ a_n) / n ----> 0
(ii) il existe une partie A de IN ayant une densité nulle et tq lim k n = 0 ( (k n) étant la " restriction " de (a n ) à l'ensemble IN - A )

pour l'implication directe on introduira b n = sup { S p / p >= n }

Bon, pas le temps de penser au reste, je me contente ici de la partie 1)

a) clairement S(A) = 0
b) raisonner sur la parité de n S(A) = 1/2

c) notons cn le nombre d'entiers m tels que m^k <= n.
n s'écrit sous la forme n = cn^k + pn
avec cn^k <= pn < cn^(k+1)
on a alors Card(A inter [1,n] )/n = cn/(cn^k + pn)
or on a cn/cn^(k+1) < cn/(cn^k + pn) <= cn/cn^k
soit 1/cn^k < cn/(cn^k + pn) <= 1/cn^(k-1)
C'est là qu'on voit l'intérêt de k>=2...
lim cn = infini (quand n tend vers l'infini...)
soit S(A) = 0

Oui, c'est ça ¨
Pense à la suite , et surtout la densité des nombres premiers et de la caractérisation de la convergence au sens de Césaro.