!!!nice!!!

On multiplie tout par a+b+c: alors l inegalite a demontrer est:

(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a>=4(c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c))

equivalent a:

ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)>=4abc(c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c))

La il suffit de remarquer que: 4abc^2/(a+b)<=(a+b)c^2,....

En sommant, on trouve le resultat!

ON A ( X+Y+Z )(1/X+1/Y+1/Z)=<9:
on pose: X=A+B ; Y=B+C; Z=A+C, EN REMPLACANT DANS L'INEGALITE:
2(A+B+C)(1(A+B)+1/(B+C)+1/(A+C))=<9

D'OU 2[1/(A+B)+1/(B+C)+1/(A+C)]=<9/(A+B+C) (*)

ON A: 4AB=<(A+B)² DONC 4/(A+B)=<1/A + 1/B , en faisant la meme chose avec B et C

on treouve : 2[1/(A+B)+1/(B+C)+1/(A+C)]=< 1/A + 1/B+ 1/C (**)

EN SOMMENT (*) et (**) on trouve le resultat demandé.

voici ma solution :

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=504982&p=2836788#p2836788

zizo_ismail a écrit:

ON A ( X+Y+Z )(1/X+1/Y+1/Z)=<9:
on pose: X=A+B ; Y=B+C; Z=A+C, EN REMPLACANT DANS L'INEGALITE:
2(A+B+C)(1(A+B)+1/(B+C)+1/(A+C))=<9

D'OU 2[1/(A+B)+1/(B+C)+1/(A+C)]=<9/(A+B+C) (*)

ON A: 4AB=<(A+B)² DONC 4/(A+B)=<1/A + 1/B , en faisant la meme chose avec B et C

on treouve : 2[1/(A+B)+1/(B+C)+1/(A+C)]=< 1/A + 1/B+ 1/C (**)

EN SOMMENT (*) et (**) on trouve le resultat demandé.

D'où tenez vous ce qui en rouge ?
C'est plutôt le contraire ..
Avec CS : (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) 9 !!!