E.f

Trouver toutes les fonctions f:IR->IR tel que pour tout (x,y) £ IR² nous avons :
(x+y)f(y) + yf(f(x)) = (2x+y)f(f(y)).

on a f(x)=0 est une solution , cherchant maintenant les solution non nul
P(y,y) => 2yf(y)+yf(f(y))=3yf(f(y)) on fix y diiférent de 0 on a :
$f(y)=f(f(y))$ quelque soit y différent de 0
ansi P(x,y) devient : $(x+y)f(y)+yf(x)=(2x+y)f(y)$ soit
$yf(x)=xf(y)$ soit $f(x)\x = f(y)\y$ quelque soit x et y différent de 0
d'ou il existe ''a'' apartenant a R tel que :
f(x)=ax pour tout x différent de 0 .
pour y=0 on a : xf(0)=2xf(f(0))
supposant f(0) différent de 0
alors on a :
xf(0)=2axf(0) quelque x , pour x=1 on
f(0)(2a-1)=0 d'ou a=1\2 , or la fonction f(x)=x\2 n'est pas une solution donc
f(0)=0 .
et donc f(x)=ax quelque soit x dans R il ne reste qu'a faire la réciproque ...

Oty a écrit:

on a f(x)=0 est une solution , cherchant maintenant les solution non nul
P(y,y) => 2yf(y)+yf(f(y))=3yf(f(y)) on fix y diiférent de 0 on a :
$f(y)=f(f(y))$ quelque soit y différent de 0
ansi P(x,y) devient : $(x+y)f(y)+yf(x)=(2x+y)f(y)$ soit
$yf(x)=xf(y)$ soit $f(x)\x = f(y)\y$ quelque soit x et y différent de 0
d'ou il existe ''a'' apartenant a R tel que :
f(x)=ax pour tout x différent de 0 .
pour y=0 on a : xf(0)=2xf(f(0))
supposant f(0) différent de 0
alors on a :
xf(0)=2axf(0) quelque x , pour x=1 on
f(0)(2a-1)=0 d'ou a=1\2 , or la fonction f(x)=x\2 n'est pas une solution donc
f(0)=0 .
et donc f(x)=ax quelque soit x dans R il ne reste qu'a faire la réciproque ...

je ne pense pas Mr oty
ay(x+y)+yf(ax)=(2x+y)f(ay) => axy+ay²=a²xy+a²y² vrai si et seulement si a=0 ou a=1

P.S : f(y)=f(f(y)) => ay=a²y => a=1 ou a=0
donc f(x)=0 ou f(x)=x

en tous cas c'est une bon solution bravo khay oty

je n'avais pas dit que f(x)=ax est la solutiton , il fallait faire la reciproque que j'ai représenté comme trois point suspension , Merci beaucoup Khay Amine .