exo en dérivation

soit f une fonction; f(x)=1+x+x²+...........+x°n (à la puissance n)

1) donnez une formule à f sur IR-{1}

2) montrez que 1+2x+3x²+......+n.x°(n-1)[n.x°(n+1)-(n+1).x°n +1]/(1-x)²

3)calculez 1-2+3-4+......+(-1)^(n+1).n

4)calculez lim de la somme(k=1---->n)k/3^k quand n tend vers +l'infini

1) On a f est une suite géométrique de raison x.
Si x=1, alors f(x)=n+1
Si x est différent de 1, alors: f(x)=[1-x^(n+2)]/[1-x]

2) On a d'une part: f'(x)= 1+2x+3x²+....+nx^(n-1)
D'autre part: f'(x)= [(-(n+2)x^(n+1))(1-x)+1-x^(n+2)]/(1-x)²=[(n+1)x^(n+2)-(n+2)x^(n+1) +1]/(1-x)². D'ou le résultat.

3) Pour calculer la somme, on applique notre relation pour x=-1, ce qui nous donne:
S=[(n+1)(-1)^(n+2)-(n+2)(-1)^(n+1)+1]/4. Sinon on divise S en deux sommes arithmétiques de raison 2.

4) Calculer la somme de S'.
S'=1/3^1+2/3^2+3/3^3+...+n/3^n
C'est une suite croissante et non majorée, donc elle tend vers +oo.

Syba je pense que vous avez une faute question 1 (n-p+1) donc (n+1)