Inégalité avec la fonction ln !

Montrer que pour tous réels x strictement positifs l'on a:
ln(x+1)*ln(1+(1/x))<(ln(2))²
Bonne chance !

L'inégalité n'est pas stricte pour x=1

votre inégalité est équivalente à cette inégalité :

X²-2X+1<0<=> X²-2X+1=0 <=>X=1 ,car X>0

aprés verification 1 n'est pas la solution car on aura 0<0 donc S={}

nice

Salut ZYGOTO,

Comment trouves-tu la seconde inéquation ?

pour x>0 , f(x)=ln(x+1) ln(1+1/x)=ln²(x+1) - ln(x+1)ln(x)
f(x)=f(1/x) ==> on peut supposer x>1

f'(x)
= 2ln(x+1) /(x+1) -ln(x) /(x+1) -ln(x+1)/x
=((x-1)ln(x+1)-xln(x))/x(x+1)
=(x-1)(ln(x+1)/x-ln(x)/(x-1))/(x+1)
=(x-1)(g(x)-g(x-1)/(x+1)

avec g(x)=ln(x+1)/x pour x>0

g'(x)
= 1/x(x+1)-ln(x+1)/x²
=(x/(x+1)-ln(x+1))/x²

mais qqs u > -1, u>ln(1+u)
pour u=-x/(x+1) on a -x/(x+1)>ln(1-x/(x+1))=-ln(x+1) ==> g'(x)<0 pour x>0
==> g décroissante ==> f'(x)<0 pour x>1
==> f décroissante ==> f(x)<f(1)=ln²(2)

merci mr.attioui , c'est ce que j'ai fait moi aussi, par contre j'ai pas très bien compris la méthode de mr.zygoto