Un exercice sur valeur absolue et inégalité

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Salut,

1) la première inégalité est simple. La seconde résulte du fait que |xy| < 1 équivaut à -1 < xy < 1
Le second membre nous donne 1+xy > 0

2) (1-x)(1-y)=1+xy-(y+x) et (1+x)(1+y)=1+xy+y+x

3) On remarque que (1-x)(1-y)+(1+x)(1+y) = 2(1+xy) et (1+x)(1+y)-(1-x)(1-y)=2(x+y)

Donc |x+y|/|1+xy| = |(1+x)(1+y)-(1-x)(1-y)| / |(1-x)(1-y)+(1+x)(1+y)| < 1 car :

|x|<1 implique -1<x<1 soit -1<-x<1 soit 1-x>0 et de même 1-y>0

Salut Mr Tog ,
|(1+x)(1+y)-(1-x)(1-y)| / |(1-x)(1-y)+(1+x)(1+y)| < 1 si et seulement si |(1-x)(1-y)+(1+x)(1+y)| > |(1+x)(1+y)-(1-x)(1-y)| alors qu'est ce qui nous montre que |(1-x)(1-y)+(1+x)(1+y)| > |(1+x)(1+y)-(1-x)(1-y)| ?

Ah oui tu as raison.

Du coup :

Pour -1 < x,y < 1 on a (1-x)(1-y) > 0 donc 1+xy-(x+y) > 0 donc (1+xy-(x+y))/(1+xy) > 0 et donc 1 - (x+y)/(1+xy) > 0 et donc (x+y)/(1+xy) < 1

On fait la même chose en utilisant (1+x)(1+y) > 0 pour montrer que (x+y)/(1+xy) > -1 et on a l'inégalité demandée.