(sum(p=1 à n) u(n,p) )_n converge?

Soit (u(n,p)) une suite double à termes positifs telle que pour tout p, u(n,p) --> u_p qd n -->+oo
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que la suite (sum(p=1 à n) u(n,p) )_n converge.

N.B. Même si la série sum u_p converge on n'a pas en général que la suite (sum(p=1 à n) u(n,p) )_n converge.voir contre exemple problème octobre 2012

Pour tout p, la suite (u(n,p) )_n converge alors elle est bornée soit M_p =sup{u(n,p) / n dans N}

Soit v(n,p)= u(n,p) si n>=p et v(n,p)=0 sinon
v(n,p) --> u_p qd n -->+oo et 0=<v(n,p)=<M_p qqs n et p

Si la série sum M_p converge alors la série sum u_p converge car 0=<u_p=<M_p
et d'après le théorème de convergence dominée

sum(p=1 à n) u(n,p) = sum(p=1 à +oo) v(n,p) --> sum(p=1 à +oo) u_p qd n -->+oo