Deuxième Épreuve 2013

Merci M.Lhassane pour lancer la discussion sur ce sujet.


Pour l'exo 1),

Multiplions par abc, l'inégalité devient :

sqrt(3)*abc*(sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)) =< a^2 sqrt(a)+ b^2 sqrt(b)+c^2 sqrt(c)

Par tchebychev,

a^2 sqrt(a)+ b^2 sqrt(b)+c^2 sqrt(c) >= 1/3*(sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)*(a^2+b^2+c^2)

Il suffit ainsi de montrer que :

1/3*(a^2+b^2+c^2) >= sqrt(3)*abc

Or puisque

a^2+b^2+c^2 >=ab+bc+ca=1

Il reste juste à montrer que

abc =< 1/(3*sqrt(3))

Or par AM-GM, on a

sqrt[3] abc =< 3*abc/(ab+bc+ca)=3*abc

CQFD.

Bonsoir Radouane et au Forum .
J'ai cherché l'Exercice 3)
C'est pour m'amuser , je ne suis pas Olympien du tout !!


Les entiers naturels non nuls x, y et z vérifient la relation
x+y+z=2013.

Fixons x , alors x>=1 et comme y>=1 et z aussi on devra avoir x=2013-y-z <=2011

Ainsi si x est fixé , y+z varie entre 2 et 2013-x
Dénombrons alors le nombre N(x) de couples (y,z) d'entiers tels que
2<=y+z<=2013-x ????
Si p est un entier tel que 2<=p<=2013-x
On a (p-1) couples (y,z) d'entiers tels que y+z=p

Par conséquent ; on aura
N(x)=SIGMA{p-1 ; 2<=p<=2013-x}=SIGMA{k ; 1<=k<=2012-x}
Tous calculs faits , on trouvera :
N(x)=(1/2).((2013-x).(2012-x)

Le nombre demandé dans la Question 1) sera égal à :

N=SIGMA{N(x); 1<=x<=2011}
Qui vaut tous calculs faits :

N=(1/6).2011.2012.2013

Pour la Question 2) , on peut le faire très proprement par la Méthode de Lagrange
Mais je pense que c'est un peu dur ....
Le produit P(x,y,z)=x.y.z est MAXIMAL lorsque x=y=z
et comme x+y+z=2013 alors x=y=z= 2013/3= 671 la valeur de ce Max est (671)^3
La solution demandée est (671,671,671) .

Amicalement . LHASSANE

Bonsoir M. Lhassane

Pour l'Exo 2,

On pose x=0, on obtient f(f(y+f(z))=y+f(z)), ce qui signifie que pour tout x, f(f(x))=x.
pour x=y=z=0, on obtient f(f(0))=f(0), or f(f(0))=0, d'où f(0)=0.


ou encore f est injective. Soit ainsi z tel que f(z)=-y, ainsi f(x+f(0))=-f(z)+f(x+z), d'où f(x)+f(z)=f(x+z), f est de cauchy, sur Q la seule solution est f(x)=f(1)x.

CQFD.

radouane_BNE a écrit:

Bonsoir M. Lhassane

Pour l'Exo 2,

On pose x=0, on obtient f(f(y+f(z))=y+f(z)), ce qui signifie que pour tout x, f(f(x))=x.
pour x=y=z=0, on obtient f(f(0))=f(0), or f(f(0))=0, d'où f(0)=0.


ou encore f est injective. Soit ainsi z tel que f(z)=-y, ainsi f(x+f(0))=-f(z)+f(x+z), d'où f(x)+f(z)=f(x+z), f est de cauchy, sur Q la seule solution est f(x)=f(1)x.

CQFD.

Pourquoi ???

Solution probleme 1:



Solution probleme 2:

Effectivement il fallait écrire f(f(f(0))) et pas f(f(0)) mais basiquement c'est la même idée. Merci !

et f(x)=-x+a avec a£ IR est aussi une solution

Amicalement .

Mr Ahmed Taha je crois que vous avez fait une faute d'innatention
Pour P(a,-2a,-a)
f(a+f(-2a+f(-a)))=-2a+a
f(2a)=-a
ce qui est juste car
2a = f(-a)
et f(f(x))=x
Donc y'a Rien a remarquer

Je propose une simple rectification a Ta Démo :

Spoiler:

alidos a écrit:

Mr Ahmed Taha je crois que vous avez fait une faute d'innatention
Pour P(a,-2a,-a)
f(a+f(-2a+f(-a)))=-2a+a
f(2a)=-a
ce qui est juste car
2a = f(-a)
et f(f(x))=x
Donc y'a Rien a remarquer

Je propose une simple rectification a Ta Démo :

Spoiler:

ah oui vous avez raison , merci

Solution probleme 4:

wow wow BRAVO

thnx

le cas d'égalité si le triangle ABC est isocèle