l'inégalité de Bernoulli

montrez que pour tout entier naturel n et tout réel x non nul et supérieur ou égale à -1 :

(1+x)^n > 1+nx
(2 façons)

Salut,
La récurrence/ et le calcul de la dérivée

Salut
La récurrence c'est claire , mais comment utiliser la dérivée ?
Une explication stp ??

pour n=1, c'est clair. Sup pour n vrai et remarquons que :

(1+x)^{n+1}>(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2>= 1+(n+1)x.

cqfd

(1+x)^n=sum(k=0...n)C(n,k)x^k=1+nx+....+x^n>1+nx pour x>-1 et x#0

si sum(k=2...n)C(n,k)x^k > 0 pour x>-1 et x#0
c'est clair pour x>0
si -1<x<0 on pose y=-x
sum(k=2...n)C(n,k)x^k = sum(k=2...n et k pair)C(n,k)y^k -sum(k=2...n et k impair)C(n,k)y^k

si n=2m
sum(k=2...n et k pair)C(n,k)y^k=sum(k=1...m)C(2m,2k)y^(2k)
sum(k=2...n et k impair)C(n,k)y^k=sum(k=1...m-1 )C(2m,2k+1)y^(2k+1)

==> sum(k=2...n)C(n,k)x^k=sum(k=1...m-1 ) [C(2m,2k)-yC(2m,2k+1)]y^(2k)+y^(2m)>0
de même si n=2m+1

Wissal El a écrit:

Salut
La récurrence c'est claire , mais comment utiliser la dérivée ?
Une explication stp ??

salut wissal
posons f(x)=(1+x)^n - (1+nx)

f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n=n[(1+x)^(n-1)-1)
f'(x)=0 <---->x=0
f'(x)<0 <----> x£]-1,0[
f'(x)>0 <----> x £ ]0,+oo[

La fonction f est donc strictement décroissante sur l'intervalle ]-1,0[ et strictement croissante sur l'intervalle ]0,+oo[
il s'ensuit que f(x)>0 pour tout x >-1 et non nul
donc (1+x)^n>1+nx

Mercii bien Samih C'est plus facile que la réccurence !!