exercice (arithmerique)

on pose p un nombre premier tel que p>5 et p²=3k+1 et 2^p=3k+2
démontrer : lorsque (2^p + p²) un nombre premier , donc p=3
démontrer : lorsque p divise (2^p +1) ,donc p=3

aabid a écrit:

on pose p un nombre premier tel que p>5 et p²=3k+1 et 2^p=3k+2
démontrer : lorsque (2^p+p²) un nombre premier , donc p=3
démontrer : lorsque p divise (2^p+1) ,donc p=3

y'a pas de problème??? déja tu dis p>5 et puis

donc (2^p+p²) un nombre premier <==> 2k+1=1 <==> k=0 <==> p=1 or 1 est pas premier^^

merci , mais comment démontrer que p=3 pour les deux questions

aabid a écrit:

on pose p un nombre premier tel que p>5 et p²=3k+1 et 2^p=3k+2
démontrer : lorsque (2^p + p²) un nombre premier , donc p=3
démontrer : lorsque p divise (2^p +1) ,donc p=3

ya un problème dans l'énoncé!!! avec ces conditions, p peut pas être égal à 3

exactement je vois l'inutilité du début de l'énoncé mais bon voila



pour le premier


on a 2=-1(mod 3) donc 2^p =(-1)^p (mod 3)
si p=2 2^2+2^2=8 qui n'est pas premier
ainsi p est impair
donc 2^p=(-1)(mod 3)
ainsi on a pour tout carré p²=1(mod 3) ou p²=0(mod 3)
et comme p est premier Si p²=0(mod 3) alors 3 divise p² alors p=3
on 2^3+3²=17 qui est bien un nombre premier
si p²=1(mod 3) on aura 2^p+p² =0(mod 3) ou reste le cas de résoudre l'équation
2^p+p²=3 qui n'a pas de solution car p>3 ^^
donc p=3


Pour le deuxième

On a: 2^p =-1(mod p)
Par Fermat 2^p=2(mod p)
ainsi p-1=2 d'ou p=3

pourquoi : p²=0(mod 3)

c'est pas que pour tout premier p²=0(mod 3) j'ai juste traité ce cas .

je ne comprends pas bien