Arithmetique sur les polynome

Soit P un polynome quelconque Existe t il un polynome Q tq Q^3 soit congrue X modulo P

galillee56 a écrit:

Soit P un polynome quelconque Existe t il un polynome Q tq Q^3 soit congrue X modulo P

Je cherche Q dans C[X] ( valide pour n'importe quel corps K , peut être si on prend un corps 'plus' petit ça va réduire la complexité (Dans Q par exemple),..)
Notons C(D)=dn le coefficient dominant d'un polynôme D et d son degré.

Q^3=X+P.R (1)
Q n'est pas constant => q=>1
(1)==> 3q=p+r et rn.pn=qn^3

3Q²Q'=1+P'R+R'P (w)
==> 3.q.qn^3=(p+r)pn.qn rien de spécial!

Et là avec un peu de courage on dérive encore une fois (w) et en utilisant l'identité en gras
==> aprés simplification q(3q+1)=3q(3q-1)
Pas de solutions !

C/c: Un tel Q n'existe pas

Merci

Je pense que vous vous etes trompe En calculant car moi ca me donne 3q(q-1)=(p+r)(p+r-1) ce qui est vrai

galillee56 a écrit:

Je pense que vous vous etes trompe En calculant car moi ca me donne 3q(q-1)=(p+r)(p+r-1) ce qui est vrai

Oui t'as raison, voici un autre essai:

Remarques:

-On peut considérer que P est unitaire.

-P=X il y a bien un polynôme Q qui vérifient l'identité.
-P=X^2 pas de polynôme dans ce cas, en générale pour tout polynôme P vérifiant P(0)=P'(0)=0.
-Mon premier approche me laisse penser qu'on peut construire le polynome Q en fonction de P ( pour les polynômes de 1er deg Q=P(X-alpha) je cherche encore si une telle relation pourrait être généralisé pour des degrés supérieurs...)

Pour cela j’aimerais bien, savoir la réponse à ces deux questions:
C'est quoi l'espace de travail Z[X] Q[X] R[X] Z/pZ[X] (dans ce dernier il me semble que l’équation est solvable..)?
Rassures moi que cette question n'est pas l'avant dernière d'une épreuve de 17 pages

Merci

je suis desole pour le retard je viens de voire que vous avez poster une reponse on travail dans R[X] et c'est un oral de polytechnique je suis d'accord c'est difficile ^^

rebonjour Mr selfrespect,
je pense que j'ai trouve un semblant de preuve mais j'aimerai bien connaitre votre et l'avis des autres bon alors voila a quoi j'ai pense
on est tous d'accord qu'on peut limiter les recherches et voir les polynome R de degre inferieur au deg(P) et superieur au deg(p)/3 maintenant raisonant sur les Zero de P supposon qu il admettent k zero(a_1...a_k) donc si un tel polynome R existe alors R^3(a_i)=a_i donc R(a_i)=racine cubique (a_i) donc une petite interpolation de Lagrange devrait resoudre l'affaire mais c'est juste une idee