exercice d'absurde

(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30
démontrez que cette équation n'a pas de solutions dans l'ensemble des nombres entiers relatifs

Résultat : si a ,b,c des reels tel que : a+b+c=0 alors a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc
Par l'absurde on suppose que l'equation edmette une solution dans Z on posant : a=x-y , b=y-z , c=z-x , on a bien a+b+c=0 et donc l'equation est equivalente a :
abc=10= .
on peut supposé sans perdre de généralité que a > 0 , b>0 , c>0 , en effet comme la somme est cyclique , on peut supposé x le plus grand des trois , ainsi a>0 et c< 0 comme le produit est strictement positif forcément b< 0 ainsi si (a,b,c) est solution le couple (a,-b,-c) est aussi une solution , par choix de a > 0 on peut se limité au cas ou a> 0 ,b >0 , c> 0 . comme abc=10=5x2x1 , on a :
a=5 , b=2 , c=1 ou a=5 , c=2 , b=1 (car avec le choix de x le plus grand => a >=b et a>=c )
on remplace en fonction de x et y et z , en vérifie facilement que ces deux systeme n'ont pas de solution dans Z , je te laisse le faire .