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 les bons indices d'une suite

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2 participants
AuteurMessage
abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
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MessageSujet: les bons indices d'une suite   les bons indices d'une suite EmptyMer 04 Sep 2013, 11:50

Soit x_n>0, n>=0 . On dit que n est bon si n>=1 et x_n > x_(n-1)/2. Par convention 0 est bon.

Montrer que la série sum(n>=0) x_n converge ssi sum(n bon) x_n converge
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MohE
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MohE


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MessageSujet: Re: les bons indices d'une suite   les bons indices d'une suite EmptyDim 06 Oct 2013, 01:09

Salam Mr.Attioui,
Une première direction est triviale.
Soit I l'ensemble des bons indices.
Si I est finie, le problème est encore triviale, sinon soit f une bijection strct. croissante de IN dans I.
On peut maintenant sommer par paquets:
sum (n>=0) x_n = sum (n>=0) S_n + S
où S_n = sum(f(n)=<j<f(n+1)) x_j, et S=sum(0=<j<f(0))
pour j entre f(n) et f(n+1) on a clairement x_j =< 1/2^(j-f(n)) *x_f(n).
D'où S_n=< 2x_f(n), il en résulte que sum_(n>=0) x_n=< 2sum(n>=0)x_f(n) + S. D'où le résultat.
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