inegalite

Bonsoir,
On a montré que: inf(A)=l²(mn)/(m+n)
t.q: A={mx²+ny² / (x,y) de R² , x+y=l} (m,n > 0 et l un réel quelconque)
Comment déduire l'inégalité: ac/(a+c) + bd/(b+d) <= (a+b)(c+d)/(a+b+c+d) ? (a,b,c,d >0)

qqs m,n>0 et l∈R , (l²mn)/(m+n) =< mx²+ny² qqs x,y∈R : x+y=l

soit a,b,c,d >0 alors qqs l∈R*,
(l²ac)/(a+c) + (l²bd)/(b+d) =< ax²+cy²+bx²+dy²=(a+b)x²+(c+d)y² qqs x,y∈R : x+y=l
==> (l²ac)/(a+c) + (l²bd)/(b+d) =<(l²(a+b)(c+d))/(a+b+c+d) en passant à l'inf sur x,y∈R : x+y=l
==> ac/(a+c) + bd/(b+d) <= (a+b)(c+d)/(a+b+c+d)