jolie

Find all real valued functions defined on the reals such that for every real x,y:

Voici une solution que j'avais faite mais qui était incomplete, et que j'ai pu finir grace à l'aide d'Ahmed Taha et Humber

f est bijective car P(0,x)=>f(f(x))=x+f²(0)

alors il existe un c de R tel que f(c)=0

P(c,0)=>f(f(0))=0 et P(0,0)=>f(f(0))=f²(0) alors f(0)=0

P(0;x) --> f(f(x))=x

P(f(x);y) --> f(f(x)f(f(x))+y)=(f(f(x)))²+y --> f(xf(x)+y)=x²+y

Donc: x²+y=f(x)²+y --> f(x)²=x²

Puisque f²(x)=x², soit f(1)=1 soit f(1)=-1 .
***f(1)=1
On prend x=1, y=x dans L'EF de départ pour trouver f(f(x)+1)=x+1 donc (x+1)²=f²(f(x)+1)=(f(x)+1)²
Ainsi f²(x)+2f(x)=x²+2x ==> f(x)=x
***f(1)=-1
Avec la même méthode nous aboutissons à f(x)=-x.
Réciproquement x->x et x-> -x sont les deux solutions de l'équation de départ.

pour enrichir la discussion et remercier M. legend-crush pour son élégante démonstration: chose qui est tout à fait naturelle, puisque Messieurs Ahmed TAHA , Humber et bien sur lui même, y ont contribué. Je vous invite à découvrir une autre démonstration qui est l'oeuvre d'un certain M. ming, qui a consenti beaucoup d'efforts pour la concevoir et la finaliser en plusieurs étapes: je le nomme ici pour rendre à César ce qui est à César. http://www.ilemaths.net/forum-sujet-515595.html