Derivation

déterminer la fonction polynome f du 3éme degree tel que :

 et  et 

Soit f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d, avec (a;b;c;d) appartenant à IR4;
donc f'(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c.
On a: f(0) = 1 --> d=1.
On a aussi f(1) = a + b + c + d = a + b + c + 1 = 1
-->           f(1)   = a + b + c       = 0
                f'(1)  = 3 a + 2 b + c = -1
                f'(-1) = 3 a - 2 b + c  = 2
C'est un système d'équations qui donne que : a = - 1/8 ; b = - 3/4 et c = 7/8,
donc f(x) = -1/8 x^3 -3/4 x^2 +7/8 x + 1 .

bravo ^^ j'espere qu'il y a une autre solution ,on laisse la chance pr les autres

je suis arrivé avec la même démo de MR aymanemaysae, et je pense que c'est la méthode la plus classique et peut être la plus utilisée pour atteindre à la solution.
comme petite remarque il faut mentionner que a=/=0 pour qu'on aura une fonction de 3 degré

Merci M. L-W-P, pour la remarque: pour moi elle est essentielle, car la plupart du temps, j'oublie de mentionner ces précisions, et cela me cause beaucoup de tort et beaucoup de désagrément.

Merci encore une fois.

f(x) = a x(x-1)² + b x(x-1)+ c x + d    car {1,x,x(x-1),x(x-1)²} base puisque de degrés échelonnes
f(0)=d=1
f(1)= c+d=1 ==> c=0

f'(x)=a(3x²-4x+1)+b(2x-1)
f'(1)=b=-1
f'(-1)=8a-3b=2 ==> a= -1/8

donc f(x)=-x(x-1)²/8 - x(x-1)+1

Bonjour M. Abdelbaki_Attioui, avant tout veuillez excuser la présence de ses deux "Smileys": je ne sais pas d'où ils sortent: ils masquent un "huit".

f(x) = (1/8)x(x-1)^2 - x(x+1) + 1 ,
donc f'(x) = (1/((x-1)^2 + 2x(x-1)) - (x+1) - x ,
donc f'(-1)= (1/(    4      +     4     )  +   2    +1 = 4 et non 2 comme dans l'énoncé de l'exercice.

Veuillez m'excuser si j'ai commis une faute et si ma remarque est déplacée.

De toute façon, la méthode utilisée ouvre le chemin vers d'autres horizons et d'autres possibilités pour aborder des problèmes du même genre mais plus difficile à résoudre.

Merci beaucoup.

aymanemaysae a écrit:

Bonjour M. Abdelbaki_Attioui, avant tout veuillez excuser la présence de ses deux "Smileys": je ne sais pas d'où ils sortent: ils masquent un "huit".

f(x) = (1/8)x(x-1)^2 - x(x+1) + 1 ,
donc f'(x) = (1/ 8 )((x-1)^2 + 2x(x-1)) - (x+1) - x ,
donc f'(-1)= (1/ 8 )(    4      +     4     )  +   2    +1 = 4 et non 2 comme dans l'énoncé de l'exercice.

Veuillez m'excuser si j'ai commis une faute et si ma remarque est déplacée.

De toute façon, la méthode utilisée ouvre le chemin vers d'autres horizons et d'autres possibilités pour aborder des problèmes du même genre mais plus difficile à résoudre.

Merci beaucoup.

Bien vu
a=-1/8
pour les Smileys ajouter un espace entre 8 et )

Merci M. Abdelbaki-Attioui pour l'astuce qui permet d'empêcher les smileys d'apparaitre.

Bonne journée.