BSR à Toutes et Tous !!
Notre Ami Membre acab8 m' a proposé cet exercice :
- acab8 a écrit:
- Bonsoir
Voilà l'énoncé:
Dans R² on considère l’ensemble A des points dont une coordonnée au moins est irrationnelle.
1. Soit α ∈ R \ Q ; d´ecrire l’ensemble A ∩ {(x, y) ∈ R| x = α}.
2. Montrer que A est connexe par arcs (plus précisément, montrer que deux points de A peuvent etre
reliés par une ligne polygonale)
Merci d'avance de votre aide précieuse !
Si On note H=IR\Q l'ensemble des Irrationnels
Alors A=HxIR union IRxH
C'est donc ( comme tu l' as annoncé ) (IRxIR)\(QxQ)
Question1) : Si a est dans H alors A n {(x, y) dans IRxIR| x = a}={a}xIR
De la même manière si b est dans H alors A n {(x, y) dans RxIR| y = b}=IRx{b}
Question 2) : Soient (a,b) et (u,v) deux élements DISTINCTS de A
Alors on a Quatre Cas qui peuvent se produire :
1) a et u sont dans H
2) b et v sont dans H
3) a et v sont dans H
4) b et u sont dans H
En fait les Cas 1) et 2) sont analogues .
Et les Cas 3 et 4) sont symétriques , il suffit d'échanger les rôles de (a,b) et (u,v)
En conclusion , on traitera les cas 1) et 3)
Cas 1 : Il existe un irrationnel noté w
Différent à la fois de b et v .....
Soient f1, f2 et f3 les 3 applications suivantes :
f1 : t -----> f1(t)=(a,tw+(1-t)b) de [0;1] dans A
permet de joindre (a,b) à (a,w) en restant dans A.
f2 : t -----> f2(t)=(tu+(1-t)a,w) de [0;1] dans A
permet de joindre (a,w) à (u,w) en restant dans A.
f3 : t -----> f3(t)=(u,tv+(1-t)w) de [0;1] dans A
permet de joindre (u,w) à (u,v) en restant dans A.
Par Recollement des 3 segments , tu Obtiens un Arc Continu dans A , reliant (a,b) et (u,v)
Cas 2 : a et v sont dans H
C'est le cas le plus facile ....
Soit f : ------> f(t)
Avec
f(t)=(a,2tv+(1-2t)b) si 0=< t =< 1/2
f(t)=((2t-1)u +(2-2t)a ,v) si 1/2 =<t=< 1
f définit un Arc Continu dans A reliant (a,b) et (u,v)
Fin de Démo .
Amicalement . Lhassane
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