Exo d'acab8 sur intégrale généralisée

soit f une de IR(+) vers R continue tq elle intégrable sur [0,+oo[. Supposer que la limite de f en +oo existe, montrer alors que cette limite est nulle !

Soit eps>0, il existe A>0 :  x>A ==> |f(x)-a|<eps  où a est  la limite de f en +00
il existe  B>A :  int ( B,+00) |f(x)| dx<eps   car f intégrable sur [0,+oo[
Alors, qqs x dans [B,B+1], |a|< eps+|f(x)|  et en intégrant sur l'intervalle [B,B+1] on a donc
|a| < eps+ int ( B,B+1) |f(x)| dx< eps+ int ( B,+00) |f(x)| dx< 2 eps  , qqs eps >0 ==> a=0

Deuxième méthode

Par l'absurde: On suppose a non nul où a est la limite de f en +00
Il existe A>0 : x>A ==> |f(x)|>|a|/2 alors int ( A,+00) |f(x)| dx =+00 contradiction avec f intégrable