UN PEU DELICAT

soit f:x-----Y. On note H:P(X)------P(Y):A------f(A) et R:P(Y)------P(X):B------f*(-1)(B). Montrer que:
1)f est injective ssi H est injective.
2)f est surjective ssi R est injective.

On sait que :
f injective ssi qqs A c X,  f^(-1)(f(A))=A   on a toujours A c f^(-1)(f(A))
f surjective ssi qqs B c Y,  f(f^(-1)(B))=B  on a toujours  f(f^(-1)(B)) c B

1) On suppose f injective, soit A, A' c X : f(A)=f(A') alors A=f^(-1)(f(A))=f^(-1)(f(A') )=A' càd H injective. Inversement, soient x,x' dans X : f(x)=f(x') alors H({x})={f(x)}={f(x')}= H({x'}) ==>x=x'

2) On suppose f surjective,  soit B, B' c Y: f^(-1)(B)=f^(-1)(B') alors B=f(f^(-1)(B))=f(f^(-1)(B'))=B' càd R injective. Inversement, soit y dans Y : {y}#vide alors R({y})=f^(-1){y}est non vide car R(vide)=vide

Le problème est que il n'ont pas précisé la bijectivité de f.

Moi je crois que l'exercice n'est pas complet.

f bijective  <==> H bijective et H^(-1)=R

en effet
f injective ssi qqs A c X,  f^(-1)(f(A))=A  ssi qqs A c X,  RoH(A)=A ==> H injective et R surjective
f surjective ssi qqs B c Y,  f(f^(-1)(B))=B  ssi qqs B c Y, HoR(B)=B ==> R injective et H surjective

ok. merci.