Valeurs minimale d'un determinant.

Soit n un entier positive. Sur l'ensemble des matrices carres de tailles n a coefficients dans {1,-1}, quelle est la valeur minimale que peut prendre la valeur absolue du determinant, sans qu'elle soit nulle.

Soit m_n le minimum en question
Pour n=1, m_1=min(1,-1)=-1
pour n=2, m_2=min{ab-cd : {a,b,c,d}C{-1,1} }=-2
Par récurrence sur n;  m_n=-n! (à vérifier)
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abdelbaki.attioui a écrit:

Soit m_n le minimum en question
Pour n=1, m_1=min(1,-1)=-1
pour n=2, m_2=min{ab-cd : {a,b,c,d}C{-1,1} }=-2
Par récurrence sur n;  m_n=-n!  (à vérifier)
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Je viens de editer mon premier poste, j'avais oublier de mentionner que nous essayons de minimiser la valeur absolue du determinant (sans qu'elle soit nulle).

Le problème est peut-être relatif aux déterminants des matrices de HADAMARD.
Ai-je raison?

aymanemaysae a écrit:

Le problème est peut-être relatif aux déterminants des matrices de HADAMARD.
Ai-je raison?

Pas exactement. D'apres Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_matrix
Une matrice d'Hadamard aura, non seulement des coefficients dans {1,-1}, mais aussi des colonnes orthogonales; Restriction absente dans notre ennonce.

Le minimum est 2^(n-1).

Ce résultat, je l'ai conjecturé, mais pas démontré:
J'ai pris les matrices dont la première colonne n'était formée que par des "1" (c'est la même chose si on prenait des "-1", car on peut toujours multiplier la colonne par "-1" sans changer la valeur de la valeur absolue du déterminant), et les autres colonnes je les ai prises de telle façon à avoir des "0" sous la diagonale après avoir opéré: C(n-1)<---- C(n-1)+C(n). Pour de telles matrices j'avais toujours pour déterminant: (-2)^(n-1) pour n appartenant à IN*, et donc la valeur de la valeur absolue du déterminant de ces matrices valait 2^(n-1).
Je sais, ce n'est pas le résultat escompté, mais c'est le début d'un long chemin.

aymanemaysae a écrit:

Ce résultat, je l'ai conjecturé, mais pas démontré:
J'ai pris les matrices dont la première colonne n'était formée que par des "1" (c'est la même chose si on prenait des "-1", car on peut toujours multiplier la colonne par "-1" sans changer la valeur de la valeur absolue du déterminant), et les autres colonnes je les ai prises de telle façon à avoir des "0" sous la diagonale après avoir opéré: C(n-1)<---- C(n-1)+C(n). Pour de telles matrices j'avais toujours pour déterminant: (-2)^(n-1) pour n appartenant à IN*, et donc la valeur de la valeur absolue du déterminant de ces matrices valait 2^(n-1).
Je sais, ce n'est pas le résultat escompté, mais c'est le début d'un long chemin.

Tu as maintenant trouver un example de matrice ou la valeur 2^{n-1} est atteinte. Il ne te reste plus que de montrer qu'on ne peut obtenir moins que ca comme valeur.

Bonjour;

Ayamanemaysae,
Je trouve des difficultes a suivre ta solution. L'idee en faite reside dans ton premier paragraphe. Les coefficients de Delta_{n-1} sont tous pairs, il est donc possible de factoriser par un 2 de chacune des ses (n-1)-colonnes, son determinant est alors un multiple de 2^(n-1).

Merci, c'était clair mais je suis passé tout près sans m'en apercevoir pour me retrouver avec une solution de deux pages: c'est le prix à payer pour apprendre.
Encore une fois, Merci.