Juillet 2016

Soit (a_n) une suite telle que

     a_1 = 1  et  a_{2m} + a_{2n} = 2(a_{m+n }+ a_{m–n}),

Pour tous m et n avec m >= n .

Déterminez a_{2016}.

Je pense que c'est 2016^2.

On a a_1 = 1.

Pour n = 0 , on a pour tout m entier naturel:
a_2m = 2(a_m + a_m) = 4 a_m ,
a_4m = a_2(2m) = 4 a_2m = 16 a_m,
et a_16m = a_4(4m) = 16 a_4m = 256 a_m .

Pour m = 2u , n = u avec u entier naturel, on a:
a_4u + a_2u = 2(a3u + au) ==> 16 a_u + 4 a_u = 2 a_3u  + 2 a_u ==> a_3u = 9 a_u .

Pour m = 4u  , n = u avec u entier naturel, on a:
a_8u + a_2u = 2(a_5u + a_3u)
==> 16 a_2u + 4 a_u = 2 a_5u + 2 a_3u
==> 64 a_u + 4 a_u = 2 a_5u + 18 a_u
==> 2 a_5u = 50 a_u ==> a_5 = 25 a_u .

Pour m = 4u , n = 3u avec u entier naturel, on a:
a_8u + a_6u = 2(a_7u + a_u) ==> 16 a_2u + 9 a_2u = 2 a_7u + 2 a_u
==> 64 a_u + 36 a_u = 2 a_7u + 2 a_u ==> a_7u = 49 u .

Pour m = 8u , n = 5u avec u entier naturel, on a:
a_16u +a_10u = 2(a_13u + a_3u)
==> 256 a_u + 25 a_2u = 2 a_13u + 2 a_3u
==> 256 a_u + 100 a_u = 2 a_13u + 18 a_u
==> a_13u = 169 a_u .

On a aussi pour tout u entier naturel:
a_336u = a_16(21u) = 256 a_21u = 256 a_3(7u) = 256 * 9 a_7u = 256 * 9 * 49 a_u = 112.896 a_u ,
et a_169u = a_13(13u) = 169 a_13u = 169 * 169 a_u = 28.561 a_u ,

donc  pour m = 168u , n = u pour tout entier naturel, on a:
a_336u + a_2u = 2(a_169u + a_167)
==> 112.896 a_u + 4 a_u = 2 a_169 + 2 a_167
==> 112.900 a_u = 57.122 a_u + 2 a_167
==> a_167 = 27.889 a_u .

Comme 2016 = 4 * 3 * 167 , on a:
a_2016 = a_(4 * 3 * 167) = 16 a_(3 * 167) = 16 * 9 a_167 = 16 * 9 * 27889 a_1 = (4 * 3 * 167)^2 = 2016^2 = 4.064.256  .